2009-辽宁卷理-11 单-立体几何

本题导读

本题考查空间多面体的体积比例关系，核心在于利用“等底等高”或体积公式转换顶点（等体积变换），将不规则棱锥转化为以底面为基础的易求棱锥。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 正六棱锥 $P-ABCDEF$ 中, $G$ 为 $PB$ 的中点, 则三棱锥 $D-GAC$ 与三棱锥 $P-GAC$ 体积之比为 ()

A. $1:1$　　　　　B. $1:2$　　　　　C. $2:1$　　　　　D. $3:2$

🔍【思路分析】

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1. 将待求体积比转化为具有相同底面或相同高的新棱锥之比，采用等体积法：$V_{D-GAC}=V_{G-ACD}$，$V_{P-GAC}=V_{G-APC}$。
2. 结合 $G$ 是 $PB$ 中点的条件，寻找它们与基础棱锥 $V_{P-ABC}$ 和 $V_{P-ACD}$ 的关系。
3. 利用正六边形底面的几何性质，求出 $△ABC$ 与 $△ACD$ 的面积比，进而得出体积比。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由于 $G$ 是 $PB$ 的中点，三棱锥 $P-GAC$ 可以看作 $G-PAC$。 点 $G$ 到平面 $PAC$ 的距离是点 $B$ 到平面 $PAC$ 距离的 $\frac{1}{2}$。 所以 $V_{P-GAC}=V_{G-PAC}=\frac{1}{2}{V}_{B-PAC}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}$。 同理，三棱锥 $D-GAC$ 可以看作 $G-ACD$。 点 $G$ 到平面 $ACD$（即底面 $ABCDEF$）的距离是点 $P$ 到该平面距离的 $\frac{1}{2}$。 所以 $V_{D-GAC}=V_{G-ACD}=\frac{1}{2}{V}_{P-ACD}$。 接下来比较 $V_{P-ABC}$ 与 $V_{P-ACD}$。由于它们的高相同（均为点 $P$ 到底面的距离），体积比即为底面积之比 $S_{△ABC}:S_{△ACD}$。 设正六边形边长为 $a$，则： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。 在 $△ACD$ 中，$AC=\sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }}=\sqrt{3}a$，$CD=a$，且 $\angle ACD=90^{\circ }$（正六边形性质）。 $S_{△ACD}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}a\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$。 可见 $S_{△ACD}=2S_{△ABC}$。 因此，$V_{P-ACD}=2V_{P-ABC}$。 代入前面的关系式得：$V_{D-GAC}=\frac{1}{2}(2V_{P-ABC})=V_{P-ABC}$。 所以，$V_{D-GAC}:V_{P-GAC}=V_{P-ABC}:\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}=2:1$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥体积公式及其灵活运用（更换顶点），正六边形面积的分割与计算。
2. 核心方法：等体积变换法（底面和高的转换）。
3. 避坑指南：切忌直接以 $△GAC$ 为底面去求解 $D$ 和 $P$ 到该平面的距离，运算将极其繁杂；利用 $G$ 是中点的特性果断转换顶点是破题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的立体几何截面与体积比问题。
2. 结论推广: 对于正 $n$ 边形底面的棱锥，其内部任意三顶点构成的底面小棱锥，均可通过底面积比例直接映射为原大棱锥体积的固定比例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积