2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积

本题导读

本题考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$AB\perp AD$，点 $E$ 在线段 $AD$ 上，且 $CE\parallel AB$.

(1)求证：$CE\perp$ 平面 $PAD$；

(2)若 $PA=AB=1$，$AD=3$，$CD=\sqrt{2}$，$\angle CDA=45^{\circ }$，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$CE\perp AD$
2. 步骤2：$CE\perp PA$ 两条线线垂直推出线面垂直
3. 步骤3：底面拆成矩形 + 直角三角形求面积

✅【答案】

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(1)证明见解析

(2)$V=\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$AB\perp AD$，$CE\parallel AB$，故 $CE\perp AD$。

$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$CE\subset$ 底面 $ABCD$，故 $PA\perp CE$。

又 $PA\subset$ 平面 $PAD$，$AD\subset$ 平面 $PAD$，$PA\cap AD=A$，且 $CE\text{noot}\subset$ 平面 $PAD$，

由线面垂直的判定定理，$CE\perp$ 平面 $PAD$。

（2）由 $CE\parallel AB$ 且 $AB\perp AD$，得 $CE\perp AD$，即 $CE$ 是 $△ECD$ 中 $ED$ 边上的高。

在 $△ECD$ 中，$\angle CDE=45^{\circ }$，$CD=\sqrt{2}$，故 $CE=CD\sin 45^{\circ }=1$，$ED=CD\cos 45^{\circ }=1$。

于是 $AE=AD-ED=2$。四边形 $ABCE$ 中，$CE\parallel AB$ 且 $CE=AB=1$，故 $ABCE$ 为矩形，其面积 $=AB\times AE=1\times 2=2$。

$△ECD$ 的面积 $=\frac{1}{2}\times ED\times CE=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。

故底面 $ABCD$ 的面积 $S=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。

$PA\perp$ 底面，故 $V=\frac{1}{3}\times S\times PA=\frac{1}{3}\times \frac{5}{2}\times 1=\frac{5}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定定理；分割法求底面积；锥体体积公式

核心方法：线面垂直找”平面内两条相交直线”都垂直；不规则底面拆成矩形与直角三角形

避坑指南：判定定理中”两线相交”不可少，$PA\cap AD=A$ 要写明；解（2）的关键是先由（1）的铺垫看出 $CE\perp AD$，从而 $ED=1$、$AE=2$——底面积别直接套梯形公式（$ABCE$ 只是矩形，整体不是梯形）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥垂直与体积题与 2012-广东卷文-18、2011-大纲卷文-20、2013-福建卷文-18 同族。

结论推广：推广：第（1）问证得的垂直关系常是第（2）问求长度或面积的工具——$CE\perp$ 平面 $PAD$ 已把 $CE$、$AD$、$PA$ 的两两垂直关系全部给出，$△ECD$ 中 $45^{\circ }$ 角随即化为等腰直角三角形。

方法推广：立体几何解答题：（1）问的结论要显式记住并在（2）问复用；底面积优先考虑分割或补形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-18 解-四棱锥垂直与体积
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2013-福建卷文-18 解-四棱锥正视图与体积