2009-辽宁卷理-12 单-对数

本题导读

本题考查超越方程根的求解，核心在于构造反函数模型，利用指数函数和对数函数图象关于直线 $y=x$ 对称的几何性质，将代数方程转化为解析几何中的对称点问题进行求解。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 若 $x_1$ 满足 $2x+2^x=5$, $x_2$ 满足 $2x+2{\log }_2(x-1)=5$, 则 $x_1+x_2=$ ()

A. $\frac{5}{2}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{7}{2}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 对两方程进行恒等变形，分离出指数和对数部分。
2. 采用换元法，令 $y_1=x_1-1$，$y_2=x_2-1$，将方程化为高度对称的形式：$y_1+2^{y_1}=\frac{3}{2}$ 和 $y_2+{\log }_2{y}_2=\frac{3}{2}$。
3. 构造反函数 $y=2^x$ 和 $y={\log }_{2}x$，结合直线 $x+y=\frac{3}{2}$，利用图象对称性得出两根之和。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对于方程 $2x_1+2^{x_1}=5$，化简为： $x_1+2^{x_1-1}=\frac{5}{2}$。 令 $y_1=x_1-1$，代入得：$(y_1+1)+2^{y_1}=\frac{5}{2}$，即 $y_1+2^{y_1}=\frac{3}{2}$ ①。

对于方程 $2x_2+2{\log }_2(x_2-1)=5$，化简为： $x_2+{\log }_2(x_2-1)=\frac{5}{2}$。 令 $y_2=x_2-1$，代入得：$(y_2+1)+{\log }_2{y}_2=\frac{5}{2}$，即 $y_2+{\log }_2{y}_2=\frac{3}{2}$ ②。

观察方程 ① 和 ②，可以发现： $y_1$ 是函数 $y=2^x$ 与直线 $x+y=\frac{3}{2}$ 交点的横坐标，即交点为 $(y_1,2^{y_1})$，且 $y_1+2^{y_1}=\frac{3}{2}$。 $y_2$ 是函数 $y={\log }_{2}x$ 与直线 $x+y=\frac{3}{2}$ 交点的横坐标，即交点为 $(y_2,{\log }_2{y}_2)$，且 $y_2+{\log }_2{y}_2=\frac{3}{2}$。

由于函数 $y=2^x$ 与 $y={\log }_{2}x$ 互为反函数，它们的图象关于直线 $y=x$ 对称。 同时，直线 $x+y=\frac{3}{2}$ 也关于直线 $y=x$ 对称（垂直于对称轴）。 因此，交点 $(y_1,2^{y_1})$ 和 $(y_2,{\log }_2{y}_2)$ 必关于直线 $y=x$ 对称。 这意味点 $(y_1,2^{y_1})$ 关于 $y=x$ 的对称点 $(2^{y_1},y_1)$ 恰好等于点 $(y_2,{\log }_2{y}_2)$。 所以 $y_2=2^{y_1}$。 将 $y_2=2^{y_1}$ 代入 $y_1+2^{y_1}=\frac{3}{2}$，得到 $y_1+y_2=\frac{3}{2}$。

所求 $x_1+x_2=(y_1+1)+(y_2+1)=y_1+y_2+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互为反函数的图象对称性，方程的根与曲线交点的等价转化。
2. 核心方法：换元平移法，形如 $x+f(x)=c$ 与 $x+f^{-1}(x)=c$ 的根的和为 $c$ 的通用结论。
3. 避坑指南：直接求解该超越方程是不可能的，必须敏锐捕捉到 $2^{x-1}$ 和 ${\log }_2(x-1)$ 的互逆关系，切忌尝试利用导数去逼近近似解而浪费时间。平移换元时极易把常数项算错，务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考极具区分度的反函数对称性经典模型“零点和”问题。
2. 结论推广: 若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互为反函数，方程 $x+f(x)=c$ 的实数根为 $x_1$，方程 $x+g(x)=c$ 的实数根为 $x_2$，则 $x_1+x_2=c$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数