2009-重庆卷理-10 单-椭圆

本题导读

本题考查函数的周期性、函数的零点与方程根的个数。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知以 $T=4$ 为周期的函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}m\sqrt{1-x^2},& x\in (-1,1]\\ 1-|x-2|,& x\in (1,3]\end{array}$，其中 $m>0$.若方程 $3f(x)=x$ 恰有 5 个实数解，则 $m$ 的取值范围为 ()

A. $\left(\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{8}{3}\right)$　B. $\left(\frac{\sqrt{15}}{3},\sqrt{7}\right)$　C. $\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$　D. $\left(\frac{4}{3},\sqrt{7}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将方程变形为 $f(x)=\frac{x}{3}$，在平面直角坐标系中分析函数 $f(x)$ 的几何图形构成：在第一个半周期是椭圆上半部分，第二个半周期是三角形折线。

2. 沿 $x$ 轴正方向数出直线 $y=\frac{x}{3}$ 与固定不动的三角形折线部分的必然交点数（2个）以及与第一段椭圆的必然交点数（1个）。

3. 确定剩余的 2 个交点必须由第二段椭圆贡献，而第三段及以后的椭圆与直线不能有交点，从而通过两次切线的临界状态建立关于 $m$ 的不等式。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解：原方程 $3f(x)=x⟺f(x)=\frac{x}{3}$。 分析函数 $f(x)$ 在一个周期 $[-1,3]$ 内的图象特征：

• 当 $x\in (-1,1]$ 时， $y=m\sqrt{1-x^2}⟹x^2+\frac{y^2}{m^2}=1(y⩾0)$，这表示一个半椭圆；
• 当 $x\in (1,3]$ 时， $y=1-|x-2|$，这表示一个以 $(2,1)$ 为顶点， $(1,0)$ 和 $(3,0)$ 为底边端点的三角形折线。

由于 $f(x)⩾0$ 恒成立，所以交点仅集中在 $x⩾0$ 的区域。 数出必然存在的交点：

1. 在 $x\in [0,1]$ 上，半椭圆从 $(0,m)$ 递减到 $(1,0)$，而直线 $y=\frac{x}{3}$ 从 $(0,0)$ 递增到 $(1,\frac{1}{3})$，两者必然在 $(0,1)$ 内交于 1 个点；
2. 在 $x\in [1,3]$ 上，直线 $y=\frac{x}{3}$ 与三角形折线 $y=1-|x-2|$ 联立：

• 左侧 $x-1=\frac{x}{3}⟹x=1.5\in [1,2]$，有 1 个交点；
• 右侧 $3-x=\frac{x}{3}⟹x=2.25\in [2,3]$，有 1 个交点。 即在 $[1,3]$ 内必然交于 2 个点。 此时已明确拥有 $1+2=3$ 个实数解。

要使总实数解恰好为 5 个，接下来的交点必须由后续周期的半椭圆提供：

• 周期 1 中的半椭圆方程为 $(x-4{)}^2+\frac{y^2}{m^2}=1(y⩾0)$，为了贡献剩余的 2 个解，直线必须与该半椭圆相交；
• 周期 2 中的半椭圆方程为 $(x-8{)}^2+\frac{y^2}{m^2}=1(y⩾0)$，为了不产生多余的解，直线必须与该半椭圆相离。 （注：此后的三角形部分最高点为 1，而直线在 $x⩾5$ 时 $y⩾\frac{5}{3}>1$，故此后三角形部分绝无交点）。

利用通用切线判别式： 将直线 $y=\frac{x}{3}$ 代入圆心在 $x_c$ 处的半椭圆方程 $(x-x_c{)}^2+\frac{y^2}{m^2}=1$ 中： $(x-x_c{)}^2+\frac{x^2}{9m^2}=1⟹\left(1+\frac{1}{9m^2}\right)x^2-2x_{c}x+(x_c^2-1)=0$ 令其判别式 $\Delta =4x_c^2-4\left(1+\frac{1}{9m^2}\right)(x_c^2-1)=0$，化简可得临界相切时的参数公式： $1-\frac{x_c^2-1}{9m^2}=0⟹m=\frac{\sqrt{x_c^2-1}}{3}$

• 当直线与第一个半椭圆（$x_c=4$）相切时，临界值为 $m_1=\frac{\sqrt{4^2-1}}{3}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；
• 当直线与第二个半椭圆（$x_c=8$）相切时，临界值为 $m_2=\frac{\sqrt{8^2-1}}{3}=\frac{\sqrt{63}}{3}=\sqrt{7}$。

根据数形结合，要满足与第一个相交（2个交点）且与第二个相离（0个交点）， $m$ 的取值必须介于两相切临界值之间： $\frac{\sqrt{15}}{3}<m<\sqrt{7}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的周期性平移；方程根与图象交点的转化；二次曲线相切的代数判别式。

2. 核心方法：数形结合动态边界控制法。

3. 避坑指南：容易漏掉在 $[1,3]$ 区间内三角形的两个必然交点，导致误判相交的曲线段数。一定要在草稿纸上精准地将确定交点和未知交点清点分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由经典的周期函数与线性函数交点个数问题（如由正弦曲线演变而来的各种模拟题）升华而来，将三角波和椭圆弧揉和在一起，极具构思巧思。

2. 结论推广: 设一周期函数在各周期中心 $x_c$ 处对应的峰值为椭圆弧，其与斜率为 $k$ 的正向直线相切的代数临界值公式可一般化表达为 $m=\frac{k\sqrt{x_c^2-1}}{\sqrt{1-k^2}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性