2009-陕西卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查反函数的定义与求法、函数值域与反函数定义域的对应关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 函数 $f(x)=\sqrt{2x-4}(x\ge 4)$ 的反函数为 ()

A. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2(x\ge 0)$　　　　B. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2(x\ge 2)$

C. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+4(x\ge 0)$　　　　D. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+4(x\ge 2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定原函数的值域，以此作为反函数的定义域。

2. 从原函数方程 $y=\sqrt{2x-4}$ 中反解出 $x$，之后对调 $x,y$ 得到反函数解析式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为原函数的定义域为 $x\ge 4$，所以 $2x-4\ge 4$， 从而 $y=\sqrt{2x-4}\ge \sqrt{4}=2$，即原函数的值域为 $[2,+\infty )$，因此反函数的定义域为 $x\ge 2$。 由 $y=\sqrt{2x-4}$ 两边平方得 $y^2=2x-4⟹2x=y^2+4⟹x=\frac{1}{2}{y}^2+2$。 对调 $x,y$ 可得反函数为 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2(x\ge 2)$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的解析式与定义域。

2. 核心方法：求反函数三步走：求值域、反解 $x$、变量对调。

3. 避坑指南：求反函数切记不可漏掉写出反函数的定义域，且该定义域必须由原函数的值域决定，不能直接根据反函数解析式自身去推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题依据函数与反函数的对称性及互逆性进行命题，属于一类重点考查函数映射本质的传统题型。

2. 结论推广: 函数 $y=\sqrt{ax-b}(x\ge x_0)$ 的反函数求法均可依照此法推广，注意根式函数的非负性对反函数定义域的限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性