2009-陕西卷理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 若 $3\sin \alpha +\cos \alpha =0$，则 $\frac{1}{{\cos }^2\alpha +\sin 2\alpha }$ 的值为 ()

A. $\frac{10}{3}$　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由已知条件 $3\sin \alpha +\cos \alpha =0$ 变形得到 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$。

2. 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 和二倍角公式将目标式分子分母齐次化。

3. 分子分母同时除以 ${\cos }^2\alpha$，转化为关于 $\tan \alpha$ 的式子代入求值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $3\sin \alpha +\cos \alpha =0$，得 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$。 将所求式中的 $1$ 替换为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$，且 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，得： $\frac{1}{{\cos }^2\alpha +\sin 2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }$ 分子分母同时除以 ${\cos }^2\alpha$ 得： $\frac{{\tan }^2\alpha +1}{1+2\tan \alpha }=\frac{(-\frac{1}{3}{)}^2+1}{1+2\times (-\frac{1}{3})}=\frac{\frac{1}{9}+1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{10}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的齐次式求值技术。

2. 核心方法：“常规式”变“齐次式”时，巧妙利用“$1={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$”进行数式构造。

3. 避坑指南：避免直接去求 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的具体值，那样会引入根号与正负号讨论，导致运算冗长且极易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于基本初等函数中三角恒等变换的常规题型，主要考查“切弦互化”的代数变形技巧。

2. 结论推广: 对于已知 $A\sin \alpha +B\cos \alpha =0$，求分式 $\frac{1}{a{\cos }^2\alpha +b\sin \alpha \cos \alpha +c{\sin }^2\alpha }$ 的值，均可直接转化为 $\frac{{\tan }^2\alpha +1}{a+b\tan \alpha +c{\tan }^2\alpha }$ 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数