2009-陕西卷理-17 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质、正弦型函数解析式的确定。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi ),x\in \mathbf{R}$（其中 $A>0,\omega >0,0<\phi <\frac{\pi }{2}$）的图象与 $x$ 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{\pi }{2}$，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2\pi }{3},-2\right)$．

(1)求 $f(x)$ 的解析式；

(2)当 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$，求 $f(x)$ 的值域．

🔍【思路分析】

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1. 第一问求解析式：由最低点的纵坐标确定 $A$；由相邻交点距离确定半周期 $\frac{T}{2}$，进而求出 $\omega$；将最低点 $M$ 的坐标代入，结合 $\phi$ 的取值范围确定 $\phi$。

2. 第二问求值域：由 $x$ 的取值范围逐步构建整体角 $2x+\frac{\pi }{6}$ 的取值范围，利用正弦函数的单调性与最值，求出 $f(x)$ 的值域。

✅【答案】

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因此2 ⋅2π3 + 𝜑= 3π2 + 2𝑘π，其中𝑘∈𝐙

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为 $f(x)$ 的图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2\pi }{3},-2\right)$，且 $A>0$， 所以 $-A=-2⟹A=2$。 又因为图象与 $x$ 轴相邻两个交点之间的距离为 $\frac{\pi }{2}$， 所以函数 $f(x)$ 的半周期 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}⟹T=\pi$。 由 $\omega >0$，得 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$。 此时 $f(x)=2\sin (2x+\phi )$。 将最低点 $M\left(\frac{2\pi }{3},-2\right)$ 代入得： $2\sin \left(2\times \frac{2\pi }{3}+\phi \right)=-2⟹\sin \left(\frac{4\pi }{3}+\phi \right)=-1$ 所以 $\frac{4\pi }{3}+\phi =-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟹\phi =-\frac{11\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 取 $k=1$，解得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。 因为 $\frac{\pi }{6}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，符合题意。 故 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

（2）因为 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $2x\in \left[\frac{\pi }{6},\pi \right]$， 从而 $2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$。 由正弦函数的性质可知： 当 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$； 当 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$。 所以 $-\frac{1}{2}\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1$。 乘以 $2$ 得 $-1\le 2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\le 2$。 故 $f(x)$ 的值域为 $[-1,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由五点作图法中的特殊点（最值点、零点）求参数 $\phi$；复合三角函数的值域计算。

2. 核心方法：采用“整体代换法”，将 $2x+\frac{\pi }{6}$ 视为一个大变量 $\theta$，在动态区间内观察 $\sin \theta$ 的图象走势确定最值。

3. 避坑指南：求 $\phi$ 时容易因计算失误导致其不在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 区间内；在第二问求最小值时，切勿盲目代入区间的两个端点，必须注意到 $\theta =\frac{7\pi }{6}$ 时的正弦值 $-\frac{1}{2}$ 比起始端点 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 时的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 更小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于人教 A 版必修 4 “函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象”章节的典型课后综合应用题改装，考查常规的数形互化能力。

2. 结论推广: 针对区间值域问题，若 $\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 跨越了对称轴 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 或最低点中心 $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，区间端点函数值不一定是全局最值，必须结合正弦曲线波峰与波谷的位置进行综合裁剪。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数