2009-陕西卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查直三棱柱的几何性质、线面垂直的判定与性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=1$，$AC=A{A}_1=\sqrt{3}$，$\angle ABC=60^{\circ }$．

(1)证明：$AB\perp A_{1}C$；

(2)求二面角 $A-A_{1}C-B$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. 第一问逻辑：在 $△ABC$ 中利用余弦定理求出 $BC$ 的长，通过勾股定理逆定理判定 $\angle BAC=90^{\circ }$ 即 $AB\perp AC$。再结合直三棱柱的侧棱 $A{A}_1\perp AB$，推导得 $AB\perp$ 平面 $A_{1}AC$，从而证得 $AB\perp A_{1}C$。

2. 第二问逻辑：由于 $AB,AC,A{A}_1$ 两两垂直，可以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系。写出各点坐标，求出平面 $A_{1}AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得 $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$， 代入数据得 $3=1+B{C}^2-2\times 1\times BC\times \cos 60^{\circ }⟹B{C}^2-BC-2=0$。 解得 $BC=2$（舍去负值 $BC=-1$）。 因为 $A{B}^2+A{C}^2=1^2+(\sqrt{3}{)}^2=4=B{C}^2$，所以 $\angle BAC=90^{\circ }$，即 $AB\perp AC$。 又因为该棱柱为直三棱柱，所以侧棱 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，而 $AB\subset$ 平面 $ABC$，故 $A{A}_1\perp AB$。 因为 $AC\cap A{A}_1=A$，且 $AC,A{A}_1\subset$ 平面 $A_{1}AC$，所以 $AB\perp$ 平面 $A_{1}AC$。 又 $A_{1}C\subset$ 平面 $A_{1}AC$，所以 $AB\perp A_{1}C$。

（2）解： 由（1）知 $AB,AC,A{A}_1$ 两两垂直，以 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}_1}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。 各点坐标分别为： $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,\sqrt{3},0),A_1(0,0,\sqrt{3})$ 易知平面 $A_{1}AC$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(1,0,0)$。 设平面 $A_{1}BC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。 因为 $\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{B{A}_1}=(-1,0,\sqrt{3})$， 由 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{B{A}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}y=0\\ -x+\sqrt{3}z=0\end{array}$， 令 $y=1$，得 $x=\sqrt{3}$，$z=1$，故 ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3},1,1)$。 设二面角 $A-A_{1}C-B$ 的平面角为 $\theta$（由图可知其为锐角），则： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{\sqrt{3}}{1\times \sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ 所以二面角 $A-A_{1}C-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的转化性质（线线垂直 $⟺$ 线面垂直）；利用空间向量精确求解二面角。

2. 核心方法：一旦发现图形中存在两两垂直的结构，优先考虑建立空间直角坐标系，利用代数运算规避几何作图的难点。

3. 避坑指南：第一问必须严格交代两条相交直线（$AC\cap A{A}_1=A$）才能说明线面垂直；第二问得出余弦值后，要根据几何图形肉眼观测判定二面角是钝角还是锐角，从而决定最终弧度值的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于人教 A 版必修 2 空间点、线、面位置关系章节的直棱柱性质改编，属于高考立体几何解答题的经典标准题型。

2. 结论推广: 几何法中，若 $AB\perp$ 平面 $A_{1}AC$，只需在平面 $A_{1}AC$ 内作 $AE\perp A_{1}C$ 于 $E$，连结 $BE$，则 $\angle AEB$ 即为二面角平面角。在直角 $△BAE$ 中直接通过三角函数计算，同样可得 $\cos \angle AEB=\frac{\sqrt{15}}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角