2010-上海卷理-12 填-立体几何

本题导读

本题考查平面图形翻折为空间四面体后求其体积，准确寻找底面积与高是解题关键。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 如图所示，在边长为 $4$ 的正方形纸片 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，剪去 $△AOB$，将剩余部分沿 $OC,OD$ 折叠，使 $OA,OB$ 重合，则以 $AB.,C,D,O$ 为顶点的四面体的体积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 翻折前的几何量：正方形边长为 $4$，对角线半长 $OA=OB=OC=OD=2\sqrt{2}$。
2. 折叠后的四面体结构：

• 底面 $△OCD$ 为等腰直角三角形，直角边 $OC=OD=2\sqrt{2}$，$\angle COD=90^{\circ }$；
• 翻折后 $OA,OB$ 重合为棱 $O{A}^{\prime }$，且 $O{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$，满足 $O{A}^{\prime }\perp OC$ 且 $O{A}^{\prime }\perp OD$。

3. 计算体积：棱 $O{A}^{\prime }$ 为四面体的高，高 $h=O{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$，利用 $V=\frac{1}{3}{S}_{△OCD}\cdot h$。

✅【答案】

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$\frac{8\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析折叠前后的对应边角关系 原正方形 $ABCD$ 边长为 $4$，对角线交于 $O$，所以： $OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

在平面上，$\angle AOC=180^{\circ }$（即 $A,O,C$ 共线），剪去 $△AOB$ 后沿 $OC,OD$ 折叠。 折叠后，记重合后的顶点为 $P$（即原 $A$ 和 $B$ 顶点）：

• 棱长：$PO=2\sqrt{2}$，$OC=2\sqrt{2}$，$OD=2\sqrt{2}$；
• 角关系：在原图中 $\angle AOC=180^{\circ }$，剪去 $\angle AOB=90^{\circ }$ 后，$\angle POC=90^{\circ }$ 且 $\angle POD=90^{\circ }$。

第二步：确定垂直关系与高 因为 $PO\perp OC$ 且 $PO\perp OD$，又 $OC\cap OD=O$， 所以 $PO\perp$ 平面 $OCD$。 即棱 $PO$ 是以 $△OCD$ 为底面的三棱锥 $P-OCD$ 的高： $h=PO=2\sqrt{2}$

第三步：计算底面积与体积 底面 $△OCD$ 是直角边为 $2\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形（$\angle COD=90^{\circ }$）： $S_{△OCD}=\frac{1}{2}\times OC\times OD=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=4$

四面体 $P-OCD$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△OCD}\times h=\frac{1}{3}\times 4\times 2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$

故答案为：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面图形折叠为空间图形的线面垂直关系判定与棱锥体积。
2. 核心方法：找出折叠不变量 $PO\perp OC$ 与 $PO\perp OD⟹PO\perp$ 底面 $OCD$。
3. 避坑指南：正确识别折叠后原 $OA,OB$ 重合后的新顶点与高，切勿把高误算为原正方形边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面展开图折叠立体几何经典考题。
2. 结论推广：若正 $n$ 边形剪去一个顶角三角形后折叠，两切口边重合且垂直于底面两边，则重合边即为棱锥的高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积