2010-上海卷理-17 单-指数

本题导读

本题考查超越方程根所在区间的判定，通过构造函数并利用零点存在性定理（端点函数值异号）求解。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 若 $x_0$ 是方程 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=x^{\frac{1}{3}}$ 的解，则 $x_0$ 属于区间()

A. $\left(\frac{2}{3},1\right)$　　　B. $\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$　　　C. $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$　　　D. $\left(0,\frac{1}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造辅助函数 $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-x^{\frac{1}{3}}$。
2. 分析单调性：$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 递减，$y=x^{\frac{1}{3}}$ 递增，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，最多只有一个零点 $x_0$。
3. 依次计算各选项区间端点的函数值，找满足 $f(a)\cdot f(b)<0$ 的区间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

构造函数： $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-x^{\frac{1}{3}}=2^{-x}-\sqrt[3]{x}(x>0)$

因为 $y=2^{-x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，$y=\sqrt[3]{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上是严格单调递减函数。

依次计算各节点处的函数值（或估计范围）：

• 当 $x=\frac{1}{2}$ 时： $f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 因为 $\sqrt{2}<\sqrt[3]{2}⟹\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$，所以 $f\left(\frac{1}{2}\right)>0$。

• 当 $x=\frac{2}{3}$ 时： $f\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}$ 比较 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}$ 与 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}$： 同作 $3$ 次方： ${\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}=0.25$ ${\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right]}^3=\frac{2}{3}\approx 0.667$ 因为 $\frac{1}{4}<\frac{2}{3}$，且 $y=x^3$ 单调递增，所以 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}$。 因此 $f\left(\frac{2}{3}\right)<0$。

因为 $f\left(\frac{1}{2}\right)>0$ 且 $f\left(\frac{2}{3}\right)<0$，由零点存在性定理，零点 $x_0\in \left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：零点存在性定理（$f(a)\cdot f(b)<0⟹$ 存在零点）。
2. 核心方法：构造函数 $f(x)\to$ 计算关键界限点 $\frac{1}{2},\frac{2}{3}$ 处的正负符号（利用乘方进行无理数比大小）。
3. 避坑指南：比较 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}$ 与 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}$ 大小时，同时立方消去分数指数是关键技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数零点二分法定位基础压轴选择题。
2. 结论推广：对单调函数 $f(x)$，若在区间 $[a,b]$ 端点取值异号，则零点必唯一落在 $(a,b)$ 内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值