2010-上海卷理-19 解-对数

本题导读

本题考查三角恒等变换与对数性质的综合化简，主要考查二倍角公式、半角降幂公式、两角差余弦公式与对数性质运算。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 19. 已知 $0<x<\frac{\pi }{2}$，化简： $\lg \left(\cos x\cdot \tan x+1-2{\sin }^2\frac{x}{2}\right)+\lg \left[\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]-\lg (1+\sin 2x)$

🔍【思路分析】

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1. 化简各对数项真数部分：

• 第一部分：利用 $\cos x\cdot \tan x=\sin x$ 以及二倍角余弦降幂公式 $1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$，化简真数为 $\sin x+\cos x$。
• 第二部分：利用两角差余弦公式展开 $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\cos x+\sin x$。
• 第三部分：利用二倍角与平方和公式 $1+\sin 2x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x{)}^2$。

2. 利用对数性质化简求值：合并对数运算，利用 $\lg A+\lg B-\lg C=\lg \frac{AB}{C}$ 求值。

✅【答案】

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由0<𝑥<π2，得sin𝑥>0、cos𝑥>0，从而sin𝑥+cos𝑥>0.又cos𝑥⋅tan𝑥+1−2sin

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分别化简三项对数的真数

因为 $0<x<\frac{\pi }{2}$，所以 $\sin x>0,\cos x>0⟹\sin x+\cos x>0$。

1. 第一项真数： $\cos x\cdot \tan x+1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}+\cos x=\sin x+\cos x$

2. 第二项真数： $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=\sin x+\cos x$

3. 第三项真数： $1+\sin 2x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x{)}^2$

---

第二步：代入原式并利用对数运算法则化简

原式化简为： $\text{原式}=\lg (\sin x+\cos x)+\lg (\sin x+\cos x)-\lg (\sin x+\cos x{)}^2$

根据对数加减法运算性质（$\lg A+\lg B-\lg C=\lg \frac{A\cdot B}{C}$）： $\text{原式}=\lg \left[\frac{(\sin x+\cos x)\cdot (\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x{)}^2}\right]=\lg 1$

因为 $\lg 1=0$： $\text{原式}=0$

故原式化简的结果为：$0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：半角降幂公式 $1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$、完全平方公式 $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2$ 与对数运算法则。
2. 核心方法：分别化简对数真数式为 $\sin x+\cos x$ 形式 $\to$ 对数相加相减合并消去。
3. 避坑指南：注意验证 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$\sin x+\cos x>0$ 确保对数真数有意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷经典三角恒等变换与对数运算结合大题。
2. 结论推广：在第一象限角中，恒有 $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2$ 以及 $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x+\cos x$。

🔗【关联脉络】

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