2010-上海卷理-23 解-椭圆

本题导读

本题为 2010 年上海高考理科数学压轴题，考查椭圆背景下的平面向量表示、直线与椭圆中点弦问题、利用点在圆锥曲线内部条件判定弦的存在性与求解参角 $\theta$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 23. 已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，点 $P$ 的坐标为 $(-a,b)$.

(1) 若直角坐标平面上的点 $M,A(0,-b),B(a,0)$ 满足 $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$，求点 $M$ 的坐标；

(2) 设直线 $l_1:y=k_{1}x+p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C,D$ 两点，交直线 $l_2:y=k_{2}x$ 于点 $E$. 若 $k_1\cdot k_2=-\frac{b^2}{a^2}$，证明：$E$ 为 $CD$ 的中点；

(3) 对于椭圆 $\Gamma$ 上的点 $Q(a\cos \theta ,b\sin \theta )(0<\theta <\pi )$，如果椭圆 $\Gamma$ 上存在不同的两点 $P_1,P_2$ 使 $\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}$，写出求作点 $P_1,P_2$ 的步骤，并求出使 $P_1,P_2$ 存在的 $\theta$ 满足的条件.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：由向量公式知 $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$ 说明 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，直接由中点坐标公式求出 $M$ 的坐标。
2. 第 (2) 问：联立直线 $l_1$ 与 $l_2$ 求出 $E$ 点的横坐标；联立直线 $l_1$ 与椭圆方程，用韦达定理求出 $CD$ 中点的横坐标，代入 $k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}$ 化简对比，证得两者横坐标相等（且均在直线 $l_1$ 上），从而证得 $E$ 为 $CD$ 的中点。
3. 第 (3) 问：$\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}$ 表明 $P_1{P}_2$ 的中点 $N$ 满足 $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}⟹N$ 为 $PQ$ 的中点。作图步骤：利用中点弦斜率公式 $k_{P_1{P}_2}\cdot k_{ON}=-\frac{b^2}{a^2}$ 作平行于该斜率的直线交椭圆即可。存在条件等价于中点 $N$ 必须严格落在椭圆内部 $\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{b^2}<1$，求解关于 $\theta$ 的三角不等式。

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 求点 $M$ 的坐标

已知 $A(0,-b),B(a,0)$，由 $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$ 得： $\overrightarrow{PM}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{2}$

说明点 $M$ 为线段 $AB$ 的中点。由中点坐标公式： $x_M=\frac{0+a}{2}=\frac{a}{2},y_M=\frac{-b+0}{2}=-\frac{b}{2}$

故点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$.

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(2) 证明：$E$ 为 $CD$ 的中点

第一步：求交点 $E$ 的坐标 联立直线 $l_1:y=k_{1}x+p$ 与 $l_2:y=k_{2}x$： $k_{1}x+p=k_{2}x⟹(k_2-k_1)x=p$

解得点 $E$ 的横坐标为： $x_E=\frac{p}{k_2-k_1}(k_1\ne k_2)$

第二步：求线段 $CD$ 中点的坐标 联立 $l_1:y=k_{1}x+p$ 与椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$： $b^2{x}^2+a^2(k_{1}x+p{)}^2=a^2{b}^2$ $(b^2+a^2{k}_1^2)x^2+2a^2{k}_{1}px+a^2{p}^2-a^2{b}^2=0$

设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，设线段 $CD$ 的中点为 $M_{CD}$，由韦达定理： $x_1+x_2=-\frac{2a^2{k}_{1}p}{b^2+a^2{k}_1^2}$

中点 $M_{CD}$ 的横坐标为： $x_{CD}=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a^2{k}_{1}p}{b^2+a^2{k}_1^2}$

第三步：代入已知条件证明相等 已知 $k_1\cdot k_2=-\frac{b^2}{a^2}⟹b^2=-a^2{k}_1{k}_2$，代入 $x_{CD}$ 的分母中： $x_{CD}=-\frac{a^2{k}_{1}p}{-a^2{k}_1{k}_2+a^2{k}_1^2}=-\frac{a^2{k}_{1}p}{a^2{k}_1(k_1-k_2)}=\frac{p}{k_2-k_1}$

显见 $x_{CD}=x_E$。

因为点 $E$ 与点 $M_{CD}$ 的横坐标相同，且它们都在直线 $l_1:y=k_{1}x+p$ 上， 所以点 $E$ 与点 $M_{CD}$ 重合。

故得证：$E$ 为 $CD$ 的中点.

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(3) 作点步骤及求解 $\theta$ 的条件

求作点 $P_1,P_2$ 的步骤：

1. 确定线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $N$： 因为 $\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}⟹\frac{\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}}{2}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{2}$， 设线段 $P_1{P}_2$ 的中点为 $N$，则 $N$ 为线段 $PQ$ 的中点。 由 $P(-a,b)$， $Q(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ 求得 $N$ 点坐标： $N\left(\frac{a(\cos \theta -1)}{2},\frac{b(1+\sin \theta )}{2}\right)$

2. 确定直线 $P_1{P}_2$ 的斜率： 过原点 $O$ 与 $N$ 的直线斜率为 $k_{ON}=\frac{y_N}{x_N}=\frac{b(1+\sin \theta )}{a(\cos \theta -1)}$。 由椭圆中点弦斜率性质，直线 $P_1{P}_2$ 的斜率 $k$ 满足 $k\cdot k_{ON}=-\frac{b^2}{a^2}$： $k=-\frac{b^2}{a^2{k}_{ON}}=-\frac{b^2}{a^2\cdot \frac{b(1+\sin \theta )}{a(\cos \theta -1)}}=\frac{b(1-\cos \theta )}{a(1+\sin \theta )}$

3. 作直线与椭圆求交点： 过点 $N$ 作斜率为 $k=\frac{b(1-\cos \theta )}{a(1+\sin \theta )}$ 的直线 $l$，直线 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于两点，即为所求作的点 $P_1,P_2$.

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求使 $P_1,P_2$ 存在的 $\theta$ 满足的条件：

要使椭圆上存在不同的两点 $P_1,P_2$，充要条件是线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $N$ 必须严格落在椭圆内部： $\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{b^2}<1$

将 $N\left(\frac{a(\cos \theta -1)}{2},\frac{b(1+\sin \theta )}{2}\right)$ 的坐标代入上式： $\frac{\frac{a^2(\cos \theta -1{)}^2}{4}}{a^2}+\frac{\frac{b^2(1+\sin \theta {)}^2}{4}}{b^2}<1$ $\frac{(\cos \theta -1{)}^2+(1+\sin \theta {)}^2}{4}<1$ $(\cos \theta -1{)}^2+(1+\sin \theta {)}^2<4$

展开化简： ${\cos }^2\theta -2\cos \theta +1+1+2\sin \theta +{\sin }^2\theta <4$ $({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )+2-2\cos \theta +2\sin \theta <4$ $1+2+2(\sin \theta -\cos \theta )<4$ $2(\sin \theta -\cos \theta )<1⟹\sin \theta -\cos \theta <\frac{1}{2}$

利用辅助角公式： $\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)<\frac{1}{2}⟹\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)<\frac{\sqrt{2}}{4}$

因为 $0<\theta <\pi$，所以 $-\frac{\pi }{4}<\theta -\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}$。

设 $\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}$（因为 $0<\frac{\sqrt{2}}{4}<\frac{1}{2}$，所以 $0<\alpha <\frac{\pi }{6}$）。

解不等式 $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)<\frac{\sqrt{2}}{4}$： $-\frac{\pi }{4}<\theta -\frac{\pi }{4}<\alpha \text{或}\pi -\alpha <\theta -\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}$

解得： $0<\theta <\frac{\pi }{4}+\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}\text{或}\frac{5\pi }{4}-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}<\theta <\pi$

故使 $P_1,P_2$ 存在的 $\theta$ 满足的条件为： $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}+\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\cup \left(\frac{5\pi }{4}-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4},\pi \right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量中点性质 $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$、椭圆中点弦斜率积 $k_{弦}\cdot k_{ON}=-\frac{b^2}{a^2}$、点在曲线内部的判定条件 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1$。
2. 核心方法：

• 证明中点：比较横坐标 $x_E=x_{CD}$；
• 两点存在性转化：转化为“中点 $N$ 在椭圆内部”；
• 三角不等式解法：利用辅助角公式 $\sin (\theta -\frac{\pi }{4})<\frac{\sqrt{2}}{4}$ 结合定义域解角范围。

3. 避坑指南：第 (3) 问求 $\theta$ 范围时注意 $\theta \in (0,\pi )$，解三角不等式需分出左右两个开区间，切勿漏解钝角区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷压轴题经典的综合创新考查（向量+椭圆+中点弦+三角不等式）。
2. 结论推广：对椭圆内任一点 $N(x_0,y_0)$，过 $N$ 存在椭圆弦被 $N$ 平分的充要条件是 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比