2010-北京卷文-15 解-二倍角化简与最值

本题导读

考查三角化简与最值。$f(x)=\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$，$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{4}$，最大 $2$ 最小 $-1$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\cos 2x+{\sin }^{2}x$.

(1)求 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ 的值；

(2)求 $f(x)$ 的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。
2. $f(x)=\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$。
3. $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$。
4. $\cos 2x\in [-1,1]$：最大 $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$，最小 $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$。

✅【答案】

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(1) $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{4}$

(2) 最大值为 $2$，最小值为 $-1$

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，得 $f(x)=2\cos 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}.$ （1） $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{2}\cos \frac{2\pi }{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}.$ （2）因为 $\cos 2x\in [-1,1]$， 所以当 $\cos 2x=1$ 时 $f(x)$ 取最大值 $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$； 当 $\cos 2x=-1$ 时 $f(x)$ 取最小值 $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂化一与三角最值

核心方法：${\sin }^{2}x$ 降幂，$f$ 化为 $\cos 2x$ 的一次函数

避坑指南：目标是化成同一个角（$2x$）的同一个函数名（$\cos$）；$f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ 中角是 $\frac{2\pi }{3}$ 不是 $\frac{\pi }{3}$，余弦值别代错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$、${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 是化一法的主力。

结论推广：余弦型一次式的最值 $=$ 系数绝对值 $+$ 常数项的加减组合。

方法推广：特殊角 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ 要秒答。

🔗【关联脉络】

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