2009-上海卷文-10 填-二倍角最小值

本题导读

考查三角最值。$y=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，最小值 $1-\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 函数 $y=2{\cos }^{2}x+\sin 2x$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 降幂：$2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，故 $y=1+\cos 2x+\sin 2x$。
2. 辅助角：$y=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)⩾1-\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$1-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

利用 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$：$y=1+\cos 2x+\sin 2x$。 由辅助角公式：$\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，故 $y=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。 正弦最小取 $-1$，所以 $y_{\min }=1-\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与辅助角公式

核心方法：降幂 + 化单一函数读最值

避坑指南：$2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 是降幂（不是升幂）；合成后振幅 $\sqrt{2}$，最小值 $1-\sqrt{2}$ 而非 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a\sin +b\cos$ 合成与最值是三角小题标配。

结论推广：$y=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。

方法推广：最小值 $=1-\sqrt{2}$：常数 $1$ 加振幅 $\sqrt{2}$ 下移，负号别丢。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-15 解-二倍角最值
• 2011-福建卷文-09 单-同角关系与二倍角
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号