2009-北京卷文-15 解-二倍角最值

本题导读

三角解答题。$f(x)=2\sin (\pi -x)\cos x=\sin 2x$，$T=\pi$；$x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $2x\in \left[-\frac{\pi }{3},\pi \right]$，端点与峰值定最值。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin (\pi -x)\cos x$.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin (\pi -x)=\sin x$，$f(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$，$T=\pi$。
2. $2x\in \left[-\frac{\pi }{3},\pi \right]$：最大 $\sin \frac{\pi }{2}=1$（$x=\frac{\pi }{4}$）；最小 $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（$x=-\frac{\pi }{6}$）。

✅【答案】

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(1) $T=\pi$；(2)最大值 $1$，最小值 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由诱导公式 $\sin (\pi -x)=\sin x$，故 $f(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x,$ 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（2） 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$2x\in \left[-\frac{\pi }{3},\pi \right]$。 在 $\left[-\frac{\pi }{3},\pi \right]$ 上，$\sin 2x$ 在 $2x=\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{\pi }{4}$）处取最大值 $1$； 最小值在左端点 $2x=-\frac{\pi }{3}$（即 $x=-\frac{\pi }{6}$）处取得，为 $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故 $f(x)$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式与二倍角、闭区间最值

核心方法：化归 $y=\sin 2x$ + 相位区间分析

避坑指南：$\sin (\pi -x)=\sin x$ 先化简；$2x\in \left[-\frac{\pi }{3},\pi \right]$ 上最大在 $2x=\frac{\pi }{2}$，最小在左端点 $-\frac{\pi }{3}$，端点值别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角化简求最值是文数解答题第一题的常客。

结论推广：$2\sin x\cos x=\sin 2x$；诱导公式 $\sin (\pi -x)=\sin x$。

方法推广：整体代换 $2x\in [2a,2b]$ 后按正弦图象读最值，峰谷与端点都查一遍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值