2010-北京卷理-14 填-函数

本题导读

本题作为当年填空题的压轴题，极具创新性和思辨性。题目以正方形在直线上的无滑动滚动为背景，考查顶点 $P$ 形成的周期性轨迹。解题核心在于分阶段理清正方形翻滚时旋转中心的切换过程，并运用割补法计算组合图形的面积。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 如图放置的边长为 1 的正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动．设顶点 $P(x,y)$ 的轨迹方程是 $y=f(x)$，则 $f(x)$ 的最小正周期为$\underline{}$；$y=f(x)$ 在其两个相邻零点间的图象与 $x$ 轴所围区域的面积为$\underline{}$． 说明：“正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动”包括沿 $x$ 轴正方向和沿 $x$ 轴负方向滚动．沿 $x$ 轴正方向滚动指的是先以顶点 $A$ 为中心顺时针旋转，当顶点 $B$ 落在 $x$ 轴上时，再以顶点 $B$ 为中心顺时针旋转，如此延续．

🔍【思路分析】

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1. 分析周期性：正方形有 4 个顶点，每翻滚 4 次（旋转 4 个 $90^{\circ }$），正方形的所有顶点将恢复到最初的相对姿态，且在 $x$ 轴上向前平移了 4 个边长的距离，由此锁定周期。
2. 精细追踪动点 $P$ 的轨迹：设定初始状态点 $P$ 位于原点 $(0,0)$，逐步分析在向右滚动的 4 次旋转中，点 $P$ 的状态：

• 第一次：绕 $A(1,0)$ 旋转 $90^{\circ }$，半径为 1，上升至 $(1,1)$；
• 第二次：绕 $B(2,0)$ 旋转 $90^{\circ }$，半径为对角线 $\sqrt{2}$，平移至 $(3,1)$；
• 第三次：绕 $C(3,0)$ 旋转 $90^{\circ }$，半径为 1，下降至 $(4,0)$；
• 第四次：绕 $P(4,0)$ 旋转 $90^{\circ }$，点 $P$ 成为旋转中心，处于地面静止状态。

3. 确认相邻零点并求面积：零点即 $y=0$ 的点。由轨迹可知，相邻两个零点之间（如 $x=0$ 到 $x=4$），点 $P$ 的轨迹由三段 $90^{\circ }$ 的圆弧组成。利用几何割补法将三段弧下的面积进行拆分相加即可。

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✍【详细解析】

Abstract

第一空：求最小正周期 正方形的边长为 1．由于正方形在平面上滚动时，每旋转 4 次完成一周的轮转，此时正方形的各个顶点恢复到原有的空间相对位置，且其在 $x$ 轴上向前行进的距离为正方形的周长 $1\times 4=4$． 因此，顶点 $P$ 的高度 $y$ 随横坐标 $x$ 的变化呈现出周期性，其最小正周期为 4．

第二空：求相邻零点间的围成面积 设定初始时顶点 $P$ 位于原点 $(0,0)$（即第一个零点位置）．接下来正方形向右翻滚：

1. 第一阶段（$x\in [0,1]$）：正方形绕顶点 $A(1,0)$ 顺时针旋转 $90^{\circ }$．此时点 $P$ 到旋转中心 $A$ 的距离为边长 1．点 $P$ 形成一段半径为 1、圆心角为 $90^{\circ }$ 的圆弧，轨迹从 $(0,0)$ 运动到 $(1,1)$． 该段圆弧下方的面积 $S_1$ 恰好为一个半径为 1 的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积： $S_1=\frac{1}{4}\times \pi \times 1^2=\frac{\pi }{4}$

2. 第二阶段（$x\in [1,3]$）：此时顶点 $B$ 落在 $x$ 轴的 $(2,0)$ 位置，正方形绕 $B(2,0)$ 顺时针旋转 $90^{\circ }$．点 $P$ 到旋转中心 $B$ 的距离为正方形的对角线长 $\sqrt{2}$．点 $P$ 形成一段半径为 $\sqrt{2}$、圆心角为 $90^{\circ }$ 的圆弧，轨迹从 $(1,1)$ 运动到 $(3,1)$． 该段图形下方的面积 $S_2$ 可以拆分为：一个半径为 $\sqrt{2}$ 且圆心角为 $90^{\circ }$ 的扇形，加上该扇形下方由点 $(1,1),(2,0),(3,1)$ 围成的直角三角形的面积。 $S_2=S_{\text{扇}}+S_{△}=\frac{1}{4}\times \pi \times (\sqrt{2}{)}^2+\frac{1}{2}\times 2\times 1=\frac{\pi }{2}+1$

3. 第三阶段（$x\in [3,4]$）：此时顶点 $C$ 落在 $x$ 轴的 $(3,0)$ 位置，正方形绕 $C(3,0)$ 顺时针旋转 $90^{\circ }$．点 $P$ 到旋转中心 $C$ 的距离恢复为边长 1．点 $P$ 形成一段半径为 1、圆心角为 $90^{\circ }$ 的圆弧，轨迹从 $(3,1)$ 降落至地面 $(4,0)$（此时达到下一个零点）． 根据轴对称性，该段圆弧下方的面积 $S_3$ 与 $S_1$ 完全相等： $S_3=\frac{\pi }{4}$

4. 第四阶段（$x\in [4,5]$）：此时点 $P$ 落在地面上作为旋转中心，正方形绕 $P(4,0)$ 旋转，此阶段点 $P$ 保持静止，$y=0$．

综上所述，自相邻两个零点 $x=0$ 到 $x=4$ 之间，轨迹与 $x$ 轴围成的图形总面积为： $S=S_1+S_2+S_3=\frac{\pi }{4}+\left(\frac{\pi }{2}+1\right)+\frac{\pi }{4}=\pi +1$

填空答案：4；$\pi +1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：动态几何轨迹问题、函数的周期性、组合图形面积（割补法）。
2. 核心方法：动态过程分段追踪法、几何图形面积割补法。
3. 避坑指南：

• 旋转中心认错：第二阶段翻转时，很多考生误以为旋转中心仍在 $A$ 点或者直接按边长 1 计算半径。必须明确，此时正方形是绕着刚刚着地的顶点 $B$ 旋转，半径已变为了对角线 $\sqrt{2}$．

• 面积漏计：在计算第二阶段面积时，容易只计算了扇形面积，漏掉了扇形下部与 $x$ 轴之间空缺出的三角形面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题原型源于高等数学中的几何运动学，属于经典“摆线（Cycloid）”理论在正多边形离散化滚动中的投影。考查了空间想象力与运动分解能力。

2. 结论推广: 若边长为 1 的正 $n$ 边形沿直线无滑动滚动一周，其任意一顶点形成的轨迹与直线围成的图形面积公式为 $S=\left(1+\frac{2}{n}\right)\pi +\frac{(n-1)(n-2)}{2n}\sin \frac{2\pi }{n}$（本题中 $n=4$，代入即得 $S=\pi +1$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性