2010-北京卷理-17 解-分布列

本题导读

本题是以三门课程考试成绩为背景的概率与统计综合题。主要考查独立事件的概率计算、离散型随机变量分布列的性质以及数学期望的求解。解题核心在于将离散型随机变量的特定取值转化为独立事件的概率乘积方程组，并利用期望的性质简化计算。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p,q$ ($p>q$)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记 $\xi$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{6}{125}$	$a$	$b$	$\frac{24}{125}$

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；

(2)求 $p,q$ 的值；

(3)求数学期望 $E\xi$．

🔍【思路分析】

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1. 第一问利用对立事件：“至少有 1 门”的对立事件是“有 0 门”，可直接通过 $1-P(\xi =0)$ 快速求解。
2. 第二问构建方程组：利用 $\xi =0$（三门均不优秀）和 $\xi =3$（三门均优秀）的概率公式，列出关于 $p,q$ 的二元方程组，结合 $p>q$ 确定解。
3. 第三问求解期望：

• 方案一：利用独立事件概率公式分别算出 $a$ 和 $b$ 的值，再代入期望公式 $E\xi =\sum x_i{P}_i$ 计算。

• 方案二：利用数学期望的线性性质 $E(X_1+X_2+X_3)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)$ 直接求和，避免计算 $a,b$。

✅【答案】

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（1）由分布列，𝑃(𝜉=0)=6125，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率为

✍【详细解析】

Abstract

（1）设“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”为事件 $M$． 其对立事件为 $\xi =0$，由分布列可知 $P(\xi =0)=\frac{6}{125}$． $\therefore P(M)=1-P(\xi =0)=1-\frac{6}{125}=\frac{119}{125}$

（2）根据题意及分布列： 当 $\xi =0$ 时，表示三门课程均未取得优秀成绩，则： $P(\xi =0)=\left(1-\frac{4}{5}\right)(1-p)(1-q)=\frac{6}{125}⟹(1-p)(1-q)=\frac{6}{25}$ 展开得：$1-(p+q)+pq=\frac{6}{25}$ ①

当 $\xi =3$ 时，表示三门课程均取得优秀成绩，则： $P(\xi =3)=\frac{4}{5}pq=\frac{24}{125}⟹pq=\frac{6}{25}$ ②

将②代入①得： $1-(p+q)+\frac{6}{25}=\frac{6}{25}⟹p+q=1$ 联立 $p+q=1$ 与 $pq=\frac{6}{25}$，可知 $p,q$ 是方程 $t^2-t+\frac{6}{25}=0$ 的两个根． 解得 $t=\frac{3}{5}$ 或 $t=\frac{2}{5}$． $\because p>q$， $\therefore p=\frac{3}{5},q=\frac{2}{5}$

（3）方法一：利用数学期望的线性性质（秒杀法） 引入 0-1 随机变量 $X_i$ ($i=1,2,3$)，若第 $i$ 门课程取得优秀，则 $X_i=1$，否则 $X_i=0$． 则 $\xi =X_1+X_2+X_3$． 由于各个变量的数学期望分别为： $E{X}_1=\frac{4}{5},E{X}_2=p=\frac{3}{5},E{X}_3=q=\frac{2}{5}$ 根据期望的线性性质可得： $E\xi =E{X}_1+E{X}_2+E{X}_3=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{9}{5}=1.8$

方法二：分布列定义法 首先求出 $a$ 和 $b$ 的值： $a=P(\xi =1)=\frac{4}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{24+9+4}{125}=\frac{37}{125}$ $b=P(\xi =2)=\frac{4}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{4}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{2}{5}+\frac{1}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{36+16+6}{125}=\frac{58}{125}$ 代入期望公式计算： $E\xi =0\times \frac{6}{125}+1\times \frac{37}{125}+2\times \frac{58}{125}+3\times \frac{24}{125}=\frac{37+116+72}{125}=\frac{225}{125}=\frac{9}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件概率模型、离散型随机变量分布列的建立与计算、期望的求解。

2. 核心方法：对立事件转化思维、方程思想。对于第三问，利用期望的线性性质可以免去复杂的 $a,b$ 计算，准确率更高。

3. 避坑指南：在第二问解出二次方程的根后，务必看清题干中 $p>q$ 的大小限制条件，进行正确赋值，避免因漏看条件导致 $p,q$ 颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的高考常规概率解答题模型，考查独立性这一概率统计基石概念，源于教材中独立重复试验与随机变量性质的章节。

2. 结论推广: 设 $\xi$ 是 $n$ 个相互独立的 0-1 变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 的和，且 $P(X_i=1)=p_i$，则无论这些 $p_i$ 是否相等，该复合变量的数学期望恒有 $E\xi ={\sum }_{i=1}^n{p}_i$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率