2010-四川卷文-08 单-线性规划获利

本题导读

考查线性规划。每箱甲获利 $280$ 元、乙获利 $200$ 元，$P=280x+200y$；可行域顶点 $(0,0)$、$(0,70)$、$(15,55)$、$(48,0)$，代入比较知 $(15,55)$ 处最大 $15200$ 元，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()

A. 甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱

B. 甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱

C. 甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱

D. 甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲、乙两车间每天分别加工 $x$、$y$ 箱，列约束：$x+y⩽70$，$10x+6y⩽480$，$x,y⩾0$。
2. 每箱利润：甲 $7\times 40=280$ 元，乙 $4\times 50=200$ 元，目标函数 $P=280x+200y$。
3. 画可行域、找顶点、逐点代入比较；小题也可把四个选项直接代入约束与目标双检验。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设甲、乙两车间每天分别加工 $x$、$y$ 箱原料，则 $\{\begin{array}{l}x⩾0,y⩾0,\\ x+y⩽70,\\ 10x+6y⩽480.\end{array}$ 甲车间每加工一箱获利 $7\times 40=280$ 元，乙车间每加工一箱获利 $4\times 50=200$ 元，总获利 $P=280x+200y.$ 可行域的顶点为 $(0,0)$、$(0,70)$、$(15,55)$ 和 $(48,0)$，其中 $(15,55)$ 是直线 $x+y=70$ 与 $10x+6y=480$ 的交点（由 $10x+6(70-x)=480$ 解得 $x=15$）. 逐点计算：$P(0,0)=0$，$P(0,70)=14000$，$P(15,55)=15200$，$P(48,0)=13440$. 最大获利在 $(15,55)$ 处取得，即甲车间加工 15 箱、乙车间加工 55 箱. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的实际应用

核心方法：$P=280x+200y$ 在顶点 $(15,55)$ 处最大，为 15200 元

避坑指南：每箱利润要算对：甲 $7\times 40=280$ 元、乙 $4\times 50=200$ 元；约束是”至多 70 箱”与”工时不超 480”两条；四个选项都满足”至多”约束时，直接代入目标函数比较大小即可，比画图更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划利润模型源自生产计划情境，四川 2009 年第 10 题同型，是应用型线性规划的代表作。

结论推广：最优解在可行域顶点处取得；小题可用选项代入法替代画图。

方法推广：设元后先列全约束再写目标函数；选项代入时约束与目标双检验，防止单项不满足约束。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-10 单-线性规划利润
• 2011-四川卷文-10 单-线性规划实际应用
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2012-四川卷文-08 单-线性规划最值