2012-四川卷文-08 单-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y⩾-3,\\ x+2y⩽12,\\ 2x+y⩽12,\\ x⩾0,\\ y⩾0,\end{array}$ 则 $z=3x+4y$ 的最大值是()

A. $12$　　　　　　　B. $26$　　　　　　　C. $28$　　　　　　　D. $33$

🔍【思路分析】

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可行域顶点为 $(0,0)$，$(0,3)$，$(2,5)$，$(4,4)$，$(6,0)$，$z$ 值依次为 $0,12,26,28,18$，最大 $28$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

作出可行域（五边形），各顶点由相应边界直线两两相交得到：

$(0,0)$；$x=0$ 与 $x-y=-3$ 交于 $(0,3)$；$x-y=-3$ 与 $x+2y=12$ 交于 $(2,5)$；$x+2y=12$ 与 $2x+y=12$ 交于 $(4,4)$；$y=0$ 与 $2x+y=12$ 交于 $(6,0)$。

代入 $z=3x+4y$：

$(0,0)\to 0$；$(0,3)\to 12$；$(2,5)\to 26$；$(4,4)\to 28$；$(6,0)\to 18$。

最大值为 $28$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点的求法；目标函数在顶点处取最值

核心方法：线性目标函数的最值必在可行域顶点处取得，逐顶点代入即可

避坑指南：顶点 $(2,5)$ 与 $(4,4)$ 容易漏算或算错交点：$x-y=-3$ 与 $x+2y=12$ 联立得 $y=5$、$x=2$；$x+2y=12$ 与 $2x+y=12$ 联立得 $x=y=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值题，与 2012 年天津卷文第 2 题、2012 年广东卷文第 5 题同族。

结论推广：目标函数 $z=3x+4y$ 的等值线法向量 $(3,4)$，最值在顶点处取得；若最值不唯一，则目标函数与某边界平行。

方法推广：线性规划题按”画域 → 求顶点 → 代值”三步走，顶点坐标必须由方程组联立得出，不能目测。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2012-广东卷文-05 单-线性规划最值
• 2013-四川卷文-08 单-线性规划最值