2010-四川卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查二次函数的几何对称性，通过二次函数对称轴公式求出参数 $m$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 函数 $f(x)=x^2+mx+1$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称的充要条件是()

A. $m=-2$　　　　B. $m=2$　　　　C. $m=-1$　　　　D. $m=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ 的对称轴方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。
2. 对应已知二次函数，求得其对称轴为 $x=-\frac{m}{2}$。
3. 令对称轴等于 $1$，解关于 $m$ 的方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对于二次函数 $f(x)=x^2+mx+1$，其开口向上，对称轴为直线： $x=-\frac{m}{2\times 1}=-\frac{m}{2}$

由题意，函数的图象关于直线 $x=1$ 对称，故对称轴必须为 $x=1$： $-\frac{m}{2}=1⟹m=-2$

因为结论是双向等价推导（对称轴为 $x=1⟺m=-2$），所以 $m=-2$ 是其充要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数的对称轴公式 $x=-\frac{b}{2a}$。
2. 核心方法：对称轴公式列方程求解。
3. 避坑指南：注意公式中的负号，切勿漏写致使算成 $m=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：二次函数图象与性质基础题。
2. 结论推广：二次函数 $y=a(x-h{)}^2+k$ 的对称轴恒为 $x=h$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性