2010-四川卷理-07 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划在生产计划资源优化中的应用，通过建立二元一次不等式组及利润目标函数求解最优方案。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 某加工厂用某原料由甲车间加工出 $A$ 产品，由乙车间加工出 $B$ 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费工时 $10$ 小时可加工出 $7$ 千克 $A$ 产品，每千克 $A$ 产品获利 $40$ 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时 $6$ 小时可加工出 $4$ 千克 $B$ 产品，每千克 $B$ 产品获利 $50$ 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多 $70$ 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 $480$ 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()

A. 甲车间加工原料 $10$ 箱，乙车间加工原料 $60$ 箱

B. 甲车间加工原料 $15$ 箱，乙车间加工原料 $55$ 箱

C. 甲车间加工原料 $18$ 箱，乙车间加工原料 $50$ 箱

D. 甲车间加工原料 $40$ 箱，乙车间加工原料 $30$ 箱

🔍【思路分析】

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1. 建立数学模型：

• 设甲车间每天加工 $x$ 箱原料，乙车间每天加工 $y$ 箱原料（$x,y\in \mathbb{N}$）。
• 甲车间每箱原料获利：$7\times 40=280$ 元；
• 乙车间每箱原料获利：$4\times 50=200$ 元。
• 目标函数（总利润）：$z=280x+200y$。
• 约束条件： $\{\begin{array}{l}x+y\le 70\\ 10x+6y\le 480⟹5x+3y\le 240\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

2. 求解极值：联立边界直线方程求交点，或直接代入各选项检验目标函数 $z$ 的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：建模求解（线性规划）

设甲车间加工原料 $x$ 箱，乙车间加工原料 $y$ 箱（$x,y\ge 0$）。

• 甲车间加工 $1$ 箱原料获利：$7\times 40=280$（元）；
• 乙车间加工 $1$ 箱原料获利：$4\times 50=200$（元）。

每日总利润目标函数为： $z=280x+200y$

约束条件为： $\{\begin{array}{l}x+y\le 70\\ 10x+6y\le 480⟹5x+3y\le 240\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

联立边界直线方程： $\{\begin{array}{l}x+y=70⟹3x+3y=210\\ 5x+3y=240\end{array}$ 两式相减得： $2x=30⟹x=15$ 代入 $y=70-15=55$。

计算交点 $(15,55)$ 的总利润： $z=280\times 15+200\times 55=4200+11000=15200\text{（元）}$

---

方法二：选项验证法（高效速解）

验证各选项是否满足约束条件并计算利润 $z=280x+200y$：

• A项 $(10,60)$： 工时：$10\times 10+6\times 60=460\le 480$（可行）； 利润：$280\times 10+200\times 60=2800+12000=14800$ 元。
• B项 $(15,55)$： 箱数：$15+55=70\le 70$； 工时：$10\times 15+6\times 55=150+330=480\le 480$（可行）； 利润：$280\times 15+200\times 55=4200+11000=15200$ 元。
• C项 $(18,50)$： 工时：$10\times 18+6\times 50=180+300=480\le 480$（可行）； 利润：$280\times 18+200\times 50=5040+10000=15040$ 元。
• D项 $(40,30)$： 工时：$10\times 40+6\times 30=400+180=580>480$（不满足工时约束，排除）。

比较可知，B 项利润最高。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：实际生产问题的二元线性规划建模。
2. 核心方法：转化每箱原料的利润，求交点 $(15,55)$ 作为最优解；选择题可直接用代入法比对。
3. 避坑指南：计算每箱利润时注意乘上每箱加工公斤数（甲为 $7\times 40=280$，乙为 $4\times 50=200$），切勿看错数据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：结合工厂排产决策的简单线性规划应用题。
2. 结论推广：在二元线性规划目标函数与约束条件均为一次式时，最大/最小值必在可行域顶点上取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域