2010-四川卷理-11 单-解三角形

本题导读

本题考查空间球的几何截面与球面距离求解，通过计算 $M,N$ 两点对球心 $O$ 的张角 $\theta$，利用 $d=R\theta$ 计算球面距离。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 半径为 $R$ 的球 $O$ 的直径 $AB$ 垂直于平面 $\alpha$，垂足为 $B$，$△BCD$ 是平面 $\alpha$ 内边长为 $R$ 的正三角形，线段 $AC$、$AD$ 分别与球面交于点 $M$、$N$，那么 $M$、$N$ 两点间的球面距离是()

A. $R\arccos \frac{17}{25}$　　　　B. $R\arccos \frac{18}{25}$　　　　C. $\frac{1}{3}\pi R$　　　　D. $\frac{4}{15}\pi R$

🔍【思路分析】

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1. 求球心角 $\angle MON$：球面距离公式为 $d=R\cdot \theta$（其中 $\theta =\angle MON$）。只需在 $△MON$ 中用余弦定理求出 $\cos \angle MON$。
2. 计算线段长度 $AC,AM$ 与 $AD,AN$：

• 直径 $AB=2R$，$AB\perp$ 平面 $\alpha ⟹AB\perp BC$。
• 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$BC=R,AB=2R⟹AC=\sqrt{(2R{)}^2+R^2}=\sqrt{5}R$。同理 $AD=\sqrt{5}R$。
• 连接 $BM$，因为 $AB$ 是球的直径，所以 $\angle AMB=90^{\circ }$（直径所对圆周角为直角）。
• 由射影定理/直角三角形相似：$A{B}^2=AM\cdot AC⟹(2R{)}^2=AM\cdot \sqrt{5}R⟹AM=\frac{4}{\sqrt{5}}R$。同理 $AN=\frac{4}{\sqrt{5}}R$。

3. 在 $△AMN$ 中求 $M{N}^2$：

• 先求 $\cos \angle CAD$：在 $△ACD$ 中，$AC=AD=\sqrt{5}R,CD=R$，利用余弦定理求出 $\cos \angle CAD=\frac{5R^2+5R^2-R^2}{2\times 5R^2}=\frac{9}{10}$。
• 在 $△AMN$ 中利用余弦定理求 $M{N}^2$：$M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2-2AM\cdot AN\cos \angle CAD$。

4. 在 $△MON$ 中利用余弦定理求 $\cos \angle MON$：利用 $OM=ON=R$ 和 $M{N}^2$，求出 $\cos \angle MON$，得出球面距离。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $AC,AD$ 及 $AM,AN$ 的长度 已知球半径为 $R$，直径 $AB=2R$。 $AB\perp$ 平面 $\alpha ⟹AB\perp BC,AB\perp BD$。 在正三角形 $△BCD$ 中，$BC=BD=CD=R$。

在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(2R{)}^2+R^2}=\sqrt{5}R$ 同理 $AD=\sqrt{5}R$。

因为 $AB$ 为球的直径，点 $M$ 在球面上，连接 $BM$，则 $\angle AMB=90^{\circ }$（即 $BM\perp AC$）。 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，由射影定理： $A{B}^2=AM\cdot AC⟹(2R{)}^2=AM\cdot \sqrt{5}R⟹AM=\frac{4\sqrt{5}}{5}R$ 同理： $AN=\frac{4\sqrt{5}}{5}R$

第二步：求线段 $M{N}^2$ 在 $△ACD$ 中，$AC=AD=\sqrt{5}R$，$CD=R$。 由余弦定理： $\cos \angle CAD=\frac{A{C}^2+A{D}^2-C{D}^2}{2\cdot AC\cdot AD}=\frac{5R^2+5R^2-R^2}{2\cdot \sqrt{5}R\cdot \sqrt{5}R}=\frac{9R^2}{10R^2}=\frac{9}{10}$

在 $△AMN$ 中，已知 $AM=AN=\frac{4\sqrt{5}}{5}R$： $M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2-2\cdot AM\cdot AN\cdot \cos \angle CAD$ $M{N}^2=\left(\frac{16}{5}{R}^2\right)+\left(\frac{16}{5}{R}^2\right)-2\left(\frac{16}{5}{R}^2\right)\left(\frac{9}{10}\right)$ $M{N}^2=\frac{32}{5}{R}^2-\frac{144}{25}{R}^2=\frac{160-144}{25}{R}^2=\frac{16}{25}{R}^2$

第三步：求球心角 $\angle MON$ 与球面距离 在 $△MON$ 中，$OM=ON=R$，由余弦定理： $\cos \angle MON=\frac{O{M}^2+O{N}^2-M{N}^2}{2\cdot OM\cdot ON}=\frac{R^2+R^2-\frac{16}{25}{R}^2}{2R^2}=\frac{2R^2-\frac{16}{25}{R}^2}{2R^2}=\frac{\frac{34}{25}{R}^2}{2R^2}=\frac{17}{25}$

故球心角为： $\theta =\angle MON=\arccos \frac{17}{25}$

根据球面距离公式： $d=R\cdot \theta =R\arccos \frac{17}{25}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的结构与射影定理，余弦定理求球心角及球面距离公式 $d=R\theta$。
2. 核心方法：直径直角三角形求 $AM\to △ACD$ 求 $\cos \angle CAD\to △AMN$ 求 $M{N}^2\to △MON$ 求 $\cos \theta$。
3. 避坑指南：注意 $AM$ 不能误认为是 $AC$ 的一半，需利用射影定理 $A{B}^2=AM\cdot AC$ 精确计算比例 $\frac{AM}{AC}=\frac{4}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何球面距离考查的经典压轴选择题。
2. 结论推广：从球直径端点引割线 $AC$，截得球面上点 $M$ 满足 $AM=AB\cos \angle BAC$。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-15 填-球内接体
• 2011-大纲卷文-12 单-球的截面
• 2011-大纲卷理-03 单-余弦函数