2010-四川卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式的通项公式应用，注意二项式系数与项的符号。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） ${\left(2-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^6$ 的展开式中的第四项是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二项式 $(a+b{)}^n$ 的展开式通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 求第四项，即 $r=3$，代入 $a=2,b=-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=-x^{-\frac{1}{3}},n=6$ 计算。

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{1}{60x}$

✍【详细解析】

Abstract

二项式展开式的第 $r+1$ 项为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^r$

当求第四项时，取 $r=3$： $T_4={\mathrm{C}}_6^3\cdot 2^{6-3}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^3$

计算各部分：

• ${\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$
• $2^3=8$
• ${\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^3=-\frac{1}{x}$

代入合并： $T_4=20\times 8\times \left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{160}{x}(\text{或 }-160x^{-1})$

故答案为：$-\frac{1}{60x}$（即 $-\frac{160}{x}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：第四项对应 $r=3$，准确代入指数与系数。
3. 避坑指南：注意负号 $(-1{)}^3=-1$，切勿漏写负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：二项式定理基础考查题。
2. 结论推广：对 $(a-b{)}^n$，奇数项符号为正，偶数项符号为负。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理