2010-大纲卷I文-15 填-选课计数

本题导读

考查组合计数。${\mathrm{C}}_7^3-{\mathrm{C}}_3^3-{\mathrm{C}}_4^3=35-1-4=30$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 某学校开设 $A$ 类选修课 $3$ 门，$B$ 类选修课 $4$ 门，一位同学从中共选 $3$ 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 $\underline{}$ 种．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总选法 ${\mathrm{C}}_7^3=35$。
2. 减去全选 $A$ 类 ${\mathrm{C}}_3^3=1$、全选 $B$ 类 ${\mathrm{C}}_4^3=4$。
3. $35-1-4=30$。

✅【答案】

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$30$

✍【详细解析】

Abstract

从 $7$ 门课程中任选 $3$ 门共有 ${\mathrm{C}}_7^3=35$ 种。 其中只选 $A$ 类的有 ${\mathrm{C}}_3^3=1$ 种，只选 $B$ 类的有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种。 所以两类课程中各至少选一门的选法共有 $35-1-4=30\text{（种）}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合计数与间接法

核心方法：“各至少一门”= 总数 $-$ 全 $A$ $-$ 全 $B$

避坑指南：“从中共选 $3$ 门”是无序组合不是排列；用数字作答意味着填 $30$ 不带”种”字。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“至少一个”型计数首选间接法：全集减去对立面。

结论推广：直接法也可：${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_4^2+{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_4^1=18+12=30$，两法互验。

方法推广：${\mathrm{C}}_4^3=4$ 不是 $1$，组合数下标看总数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-09 单-选排组数
• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列