2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列

本题导读

考查排列计数。末位为 $2$ 或 $4$ 各 $1$ 种，首位从剩余 $4$ 个数字选，中间两位全排列，$2\times 4\times 3\times 2=48$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 用数字 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ()

A. $8$　　　　　　　B. $24$　　　　　　　C. $48$　　　　　　　D. $120$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 末位必须是偶数：$2$ 或 $4$，两类对称。
2. 以末位为 $2$ 为例：首位 $4$ 种，百位 $3$ 种，十位 $2$ 种，共 $24$。
3. 两类合计 $48$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

四位偶数的末位必须是 $2$ 或 $4$，两类情形完全对称。 以末位为 $2$ 为例：千位从剩余 $4$ 个数字中选（$4$ 种），百位 $3$ 种，十位 $2$ 种，共 $4\times 3\times 2=24$ 个； 末位为 $4$ 时同理有 $24$ 个。 由分类加法计数原理，共有 $24+24=48$ 个，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列与计数原理

核心方法：末位分类 + 首位受限逐位计数

避坑指南：偶数末位只能 $2$ 或 $4$，两类完全对称各 $24$ 个，别只算一类就收工。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数字排列计数是排列组合基础模型。

结论推广：受限位置（末位）优先安排，再排其余位置。

方法推广：分类后各类对称时，可算一类乘 $2$，但要确认两类确实同构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-09 单-计数原理选课
• 2009-大纲卷II文-10 单-选课组合计数
• 2013-大纲卷文-14 填-分组计数