2010-大纲卷I理-03 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组条件下的线性规划最大值问题，核心在于准确作图确定可行域，并分析目标函数的几何截距意义。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le 1\\ x+y\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}$，则 $z=x-2y$ 的最大值为()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在坐标系中画出三个不等式构成的封闭三角形可行域。

2. 确定该区域的三个顶点坐标。

3. 将目标函数解析式转化为斜截式 $y=\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，分析可知当 $-\frac{z}{2}$ 最小（即直线向右下方平移经过最优解顶点）时，$z$ 取得最大值。直接用顶点代入验证法最为稳妥。

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B

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件画出可行域，其边界直线分别为 $y=1$，$x+y=0$，$x-y-2=0$。 联立方程组求得可行域三角形的三个顶点坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=1\\ x+y=0\end{array}⟹A(-1,1)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=1\\ x-y-2=0\end{array}⟹B(3,1)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y-2=0\end{array}⟹C(1,-1)$。 将三个顶点坐标分别代入目标函数 $z=x-2y$ 中进行比较：

• 对于 $A(-1,1)$：$z=-1-2(1)=-3$；

• 对于 $B(3,1)$：$z=3-2(1)=1$；

• 对于 $C(1,-1)$：$z=1-2(-1)=3$。 比较可知，$z$ 的最大值为 3。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域边界线的绘制，目标函数的最值判定。

2. 核心方法：数形结合法、顶点代入比较法。

3. 避坑指南：目标函数 $z=x-2y$ 变形为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，注意 $z$ 前面有负号，因此当 $y$ 轴截距取到最小值（最下方顶点）时，$z$ 才取到最大值。切勿习惯性选择最上方的顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的传统线性规划试题，旨在考查初等规划在平面图形中的代数落地。

2. 结论推广：对于目标函数 $z=ax+by$（$b<0$），其最优解最大值通常在可行域的“靠下”或“靠右”的边界顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立