2010-大纲卷I理-08 单-对数

本题导读

本题考查指数和对数大小的比较。核心考查对不同底数的对数函数及负指数幂数值范围的把控，利用中介值 0.5 快速拉开层次是破题的关键。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 设 $a={\log }_{3}2$，$b=\ln 2$，$c=5^{-\frac{1}{2}}$，则()

A. $a<b<c$　　B. $b<c<a$　　C. $c<a<b$　　D. $c<b<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一 $a$ 与 $b$：通过换底公式将 $a$ 写为 $\frac{\ln 2}{\ln 3}$，由于分母 $\ln 3>1$，直接得出 $a<b$。

2. 锚定中介值 0.5：分析 $c=\frac{1}{\sqrt{5}}$ 的范围，由于 $\sqrt{5}>2$，可知 $c<0.5$；分析 $a={\log }_{3}2$，由于 $3^{0.5}=\sqrt{3}<2$，可知 $a>0.5$。

3. 综上完成三者的大小排序。

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C

✍【详细解析】

Abstract

首先比较 $a$ 与 $b$： 由换底公式得 $a={\log }_{3}2=\frac{\ln 2}{\ln 3}$。 因为 $3>e⟹\ln 3>\ln e=1$，且 $\ln 2>0$， 所以 $\frac{\ln 2}{\ln 3}<\ln 2⟹a<b$。

其次引入中介值 $0.5$ 进行比较： 对于 $c=5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，因为 $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$，所以 $c=\frac{1}{\sqrt{5}}<\frac{1}{2}=0.5$。 对于 $a={\log }_{3}2$，因为 ${\log }_{3}2>{\log }_3\sqrt{3}={\log }_3{3}^{\frac{1}{2}}=0.5$。 所以 $c<0.5<a$。

综上所述，三者大小关系为 $c<a<b$。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数底数大于 1 时的单调性，负指数幂的分式转化。

2. 核心方法：中介值法（寻找常数 0, 0.5, 1 等特殊点进行卡位）。

3. 避坑指南：不要盲目去生硬估算 $\ln 2$ 或 $\ln 3$ 的复杂小数近似值，利用指数底数与对数真数的单调性进行不等式放缩更加严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考中极高频出现的“三数大小比较”题型，主要测试指对数函数的单调性及底数对数图象分布。

2. 结论推广：对于 ${\log }_{m}x$ 与 ${\log }_{n}x$（$x>1$），若 $1<m<n$，则 ${\log }_{m}x>{\log }_{n}x$。本题中 $e<3⟹{\log }_{e}2>{\log }_{3}2⟹b>a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数