2010-大纲卷I理-13 填-不等式

本题导读

本题考查无理不等式的求解。核心在于将根式不等式转化为有理不等式组，在变形过程中必须严格保证开方及平方前后的等价性与符号约束。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 不等式 $\sqrt{2x^2+1}-x\le 1$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项将根式单独隔离在左边：$\sqrt{2x^2+1}\le x+1$。

2. 列出等价不等式组：由于根号下 $2x^2+1>0$ 恒成立，只需保证右侧非负（$x+1\ge 0$）且两边平方后不等号方向不变。

3. 求解所得的一元二次不等式组，取交集得到最终解集。

点击查看答案

$[0,2]$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式变形为：$\sqrt{2x^2+1}\le x+1$。 该不等式等价于如下不等式组： $\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 2x^2+1\le (x+1{)}^2\end{array}$ 解第一个不等式得：$x\ge -1$； 展开并化简第二个不等式： $2x^2+1\le x^2+2x+1⟹x^2-2x\le 0⟹x(x-2)\le 0$， 解得：$0\le x\le 2$。 求两部分的交集： $\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ 0\le x\le 2\end{array}⟹0\le x\le 2$。 故原不等式的解集为 $[0,2]$（或 $\{x\mid 0\le x\le 2\}$）。 答案：$[0,2]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理不等式 $\sqrt{f(x)}\le g(x)$ 的等价转化法。

2. 核心方法：代数恒等变形与区间交集运算。

3. 避坑指南：两边平方时极易漏掉 $x+1\ge 0$ 这个前提条件。虽然本题最终交集不受其影响，但若不写此步骤会导致逻辑失严。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为大纲卷中考查运算基本功的常规不等式小题，源自教材中对数、指数及无理方程的拓展伸展。

2. 结论推广：形如 $\sqrt{f(x)}\le g(x)$ 的无理不等式，其标准等价转化结构为：$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ f(x)\le [g(x){]}^2\end{array}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式