2010-大纲卷I理-14 填-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的给值求值问题。核心考查通过已知二倍角的余弦值和原角的象限判定二倍角正弦的正负，进而利用两角和的正切公式完成代数求值。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知 $\alpha$ 为第三象限的角，$\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}$，则 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 目标式利用正切和角公式展开：$\tan \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)=\frac{1+\tan 2\alpha }{1-\tan 2\alpha }$，因此核心需要求出 $\tan 2\alpha$。

2. 由 $\alpha$ 为第三象限角确定 $2\alpha$ 的范围，从而准确判定 $\sin 2\alpha$ 的符号。

3. 由同角三角函数关系求出 $\tan 2\alpha$，回代完成计算。

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$-\frac{1}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 为第三象限角，所以 $\pi +2k\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 两边同乘以 2 得：$2\pi +4k\pi <2\alpha <3\pi +4k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 这表明 $2\alpha$ 的终边位于第一或第二象限。 已知 $\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}<0$，故 $2\alpha$ 只能是第二象限角。 所以 $\sin 2\alpha >0$，其值为 $\sin 2\alpha =\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }=\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$。 从而可得 $\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$。 将 $\tan 2\alpha$ 代入和角展开式中： $\tan \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan 2\alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan 2\alpha }=\frac{1+\left(-\frac{4}{3}\right)}{1-1\times \left(-\frac{4}{3}\right)}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=-\frac{1}{7}$。 答案：$-\frac{1}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：倍角范围的线性扩大缩放、同角三角函数商数与平方关系、正切和角公式。

2. 核心方法：先判断符号，再求基本量，最后公式展开。

3. 避坑指南：本题极易忽略 $\alpha$ 到 $2\alpha$ 范围变化引发的符号探讨，若主观误判定 $\sin 2\alpha$ 为负，会导致 $\tan 2\alpha =\frac{4}{3}$，最终算错答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为大纲卷中非常经典的三角恒等变换求值题，主要训练学生在角的乘倍变换中对象限符号的敏锐度。

2. 结论推广：对于已知的 $\cos \theta$，由于 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{\cos \theta +\sin \theta }{\cos \theta -\sin \theta }$，本题亦可在求出 $\sin 2\alpha =\frac{4}{5}$ 后直接写为 $\frac{-3/5+4/5}{-3/5-4/5}=\frac{1/5}{-7/5}=-\frac{1}{7}$，从而免去求切函数的步骤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数