2010-大纲卷I理-15 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查函数图象交点与方程根的个数问题。核心在于将含有绝对值的偶函数与常数直线的交点问题，转化为一元二次方程正根的分布问题，通过判别式与截距条件精确求解参数范围。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 直线 $y=1$ 与曲线 $y=x^2-|x|+a$ 有四个交点，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立两方程得到方程 $x^2-|x|+a=1⟹x^2-|x|+a-1=0$。

2. 引入换元，设 $t=|x|$。注意到当 $t>0$ 时，一个 $t$ 对应两个不同的 $x$ 值；当 $t=0$ 时只对应一个 $x$。

3. 因此，原方程拥有 4 个不同的实数根，等价于关于 $t$ 的二次方程 $t^2-t+a-1=0$ 拥有两个互异的正实根。

4. 根据二次方程根的分布，列出由判别式 $\Delta >0$、两根之和 > 0、两根之积 > 0 组成的不等式组求解。

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$\left(1,\frac{5}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

联立直线与曲线方程得： $x^2-|x|+a=1⟹|x{|}^2-|x|+(a-1)=0$。 设 $t=|x|$，则原方程化为 $t^2-t+a-1=0$。 因为每个正数 $t$ 均能对应 $x=\pm t$ 两个不同的实根， 所以原方程有 4 个不同的实根，等价于关于 $t$ 的方程 $t^2-t+a-1=0$ 在 $(0,+\infty )$ 内有两个不同的实数根。 设该一元二次函数为 $g(t)=t^2-t+a-1$，其对称轴为 $t=\frac{1}{2}>0$。 要满足有两个互异的正根，需同时满足以下条件： $\{\begin{array}{l}\Delta =(-1{)}^2-4(a-1)>0\\ g(0)=a-1>0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}5-4a>0\\ a>1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a<\frac{5}{4}\\ a>1\end{array}$。 解得 $1<a<\frac{5}{4}$。 故 $a$ 的取值范围是 $\left(1,\frac{5}{4}\right)$（或 $\{a\mid 1<a<\frac{5}{4}\}$）。 答案：$\left(1,\frac{5}{4}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带有绝对值的二次函数对称性（W型图象）、方程根的换元等价转化。

2. 核心方法：一元二次方程根的分布条件（判别式与边界值联合控制）。

3. 避坑指南：漏掉 $g(0)>0$ 这个保证根为“正数”的边界限制，极易误认为只要 $\Delta >0$ 即可，从而得出错解 $a<\frac{5}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对偶函数图象翻折变换的数形结合考查，是解析代数中极其标准的“函数交点转化为方程根”的范例。

2. 结论推广：形如 $y=x^2-2k|x|+a$ 的“W”型曲线与水平线 $y=c$ 有四个交点，等价于方程 $t^2-2kt+(a-c)=0$ 有两个异质正根，需满足 $\{\begin{array}{l}k>0\\ \Delta =4k^2-4(a-c)>0\\ a-c>0\end{array}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性