2010-大纲卷I理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的边角转化与三角恒等变换。核心在于利用正弦定理实现“边化角”，再通过两角和与差的三角公式化简三角方程，从而求出内角 $C$ 的值。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知 $△ABC$ 的内角 $A,B$ 及其对边 $a,b$ 满足 $a+b=a\cot A+b\cot B$，求内角 $C$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用同角三角函数关系将切函数化为弦函数：$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$，$\cot B=\frac{\cos B}{\sin B}$。

2. 运用正弦定理进行“边化角”，将关于边角混合的等式完全转化为关于角 $A,B$ 的三角方程。

3. 移项配凑，利用辅助角公式或诱导公式化简方程，求得 $A+B$ 的值，进而利用三角形内角和定理求出 $C$．

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必有 $A+B=\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$，$\cot B=\frac{\cos B}{\sin B}$， 原等式可化为： $a+b=a\cdot \frac{\cos A}{\sin A}+b\cdot \frac{\cos B}{\sin B}$。 根据正弦定理，有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$（其中 $R$ 为 $△ABC$ 外接圆半径）， 即 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，代入上式并约去 $2R$ 得： $\sin A+\sin B=\cos A+\cos B$。 移项变形得： $\sin A-\cos A=\cos B-\sin B$。 利用辅助角公式两边同时提取 $\sqrt{2}$： $\sqrt{2}\sin \left(A-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$， 即 $\sin \left(A-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$。 根据诱导公式 $\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left[\frac{\pi }{2}-\left(B+\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \left(\frac{\pi }{4}-B\right)$， 可得： $\sin \left(A-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-B\right)$。 因为 $A,B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $0<A<\pi$，$0<B<\pi$， 则 $-\frac{\pi }{4}<A-\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}$，$-\frac{3\pi }{4}<\frac{\pi }{4}-B<\frac{\pi }{4}$。 在此范围内，要使正弦值相等，只有以下两种可能：

1. $A-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}-B⟹A+B=\frac{\pi }{2}$；

2. $\left(A-\frac{\pi }{4}\right)+\left(\frac{\pi }{4}-B\right)=\pi ⟹A-B=\pi$，由于 $0<A<\pi$，此方程显然无解。 综上所述，必有 $A+B=\frac{\pi }{2}$。 在 $△ABC$ 中，内角和 $A+B+C=\pi$， 故 $C=\pi -(A+B)=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的“边角互化”功能、辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$ 的应用。

2. 核心方法：统一变元（将边统一为角），并利用诱导公式求解三角方程。

3. 避坑指南：由 $\sin x=\sin y$ 求解 $x$ 与 $y$ 的关系时，必须结合三角形内角的实际取值范围进行筛选，防止遗漏或产生多余解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中解三角形章节的基本恒等变换习题。通过引入余切符号 $\cot$ 增加了视觉上的干扰，实质仍是考查正余弦公式的常规交汇。

2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若满足 $\sin A+\sin B=\cos A+\cos B$，根据积化和差公式亦可化为 $2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$，因 $A\ne B$ 时 $\cos \frac{A-B}{2}\ne 0$，两边约去后直接得 $\tan \frac{A+B}{2}=1⟹\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}⟹A+B=\frac{\pi }{2}$，从而可推广出该三角形必为直角三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数