2010-大纲卷II理-02 单-对数

本题导读

本题考查反函数的求法、对数函数与指数函数的互逆性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$ 的反函数是 ()

A. $y={\text{e}}^{2x+1}-1(x>0)$　　　　　　　　　　B. $y={\text{e}}^{2x-1}+1(x>0)$

C. $y={\text{e}}^{2x+1}-1(x\in \mathbf{R})$　　　　　　　　　　D. $y={\text{e}}^{2x-1}+1(x\in \mathbf{R})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由原函数解析式解出 $x=f^{-1}(y)$。
2. 确定原函数当 $x>1$ 时的值域 $y\in \mathbf{R}$，将其作为反函数的定义域。
3. 交换 $x,y$ 得到反函数解析式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}$，得： $2y-1=\ln (x-1)$ $x-1={\text{e}}^{2y-1}⟹x={\text{e}}^{2y-1}+1$

因为原函数中 $x>1$，则 $\ln (x-1)\in \mathbf{R}$，故 $y\in \mathbf{R}$。 将 $x,y$ 互换，可得反函数为： $y={\text{e}}^{2x-1}+1(x\in \mathbf{R})$

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求法及其定义域与原函数值域的对应关系。
2. 核心方法：反解 $x$ + 判定原函数值域。
3. 避坑指南：切记反函数的定义域是由原函数的值域决定，不能仅凭反函数表达式盲目确定定义域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于对数与指数函数互为反函数的性质延伸。
2. 结论推广：若 $y=a\ln (bx+c)+d$，其反函数可统一通过指数化转化表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数