2010-大纲卷II理-05 单-不等式

本题导读

本题考查分式不等式的解法、穿针引线法（数轴标根法），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 不等式 $\frac{x^2-x-6}{x-1}>0$ 的解集为 ()

A. $\{x\mid x<-2\text{ 或 }x>3\}$　　　　　　B. $\{x\mid x<-2\text{ 或 }1<x<3\}$

C. $\{x\mid -2<x<1\text{ 或 }x>3\}$　　　　D. $\{x\mid -2<x<1\text{ 或 }1<x<3\}$

🔍【思路分析】

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1. 将分子二次三项式因式分解。
2. 将分式不等式转化为等价的整式不等式。
3. 用数轴标根法得出解集。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

原不等式可化为： $\frac{(x-3)(x+2)}{x-1}>0$

其等价于整式不等式： $(x-3)(x+2)(x-1)>0$

方程 $(x-3)(x+2)(x-1)=0$ 的根从左到右依次为 $-2,1,3$。 利用数轴标根法（从右上方起画穿线），可得不等式的解集为： $-2<x<1$ 或 $x>3$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的等价变形及高次不等式的求解。
2. 核心方法：等价转化 $\frac{A}{B}>0⟺A\cdot B>0$；穿针引线法（从右上开始穿线）。
3. 避坑指南：注意分母不能为 $0$。若为 $\ge 0$ 的情况，需额外剔除使分母为 $0$ 的根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于高一不等式章节中分式不等式与一元二次不等式的综合练习。
2. 结论推广：形如 $\frac{f(x)}{g(x)}>0$ 的分式不等式均可等价转化为 $f(x)\cdot g(x)>0$ 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式