2010-大纲卷II理-07 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换、三角函数解析式的相位变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 为了得到函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象，只需把函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象 ()

A. 向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个长度单位　　　　　　B. 向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个长度单位

C. 向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个长度单位　　　　　　D. 向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个长度单位

🔍【思路分析】

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1. 将两函数的解析式改写成 $y=A\sin [\omega (x+\phi )]$ 的形式。
2. 比较变换前后自变量 $x$ 的变化量 $\Delta x$。
3. 根据“左加右减”法则判定平移的方向与单位长度。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设平移后的解析式为 $y=\sin \left(2(x-\varphi )+\frac{\pi }{6}\right)$（其中 $\varphi >0$ 表示向右平移）。

变形得： $y=\sin \left(2x-2\varphi +\frac{\pi }{6}\right)$

使其与目标函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 完全一致，则有： $-2\varphi +\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}⟹2\varphi =\frac{\pi }{2}⟹\varphi =\frac{\pi }{4}$

因此，只需将原函数图象向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个长度单位。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象平移变换法则。
2. 核心方法：提系数法（即只对 $x$ 本身做变换）。
3. 避坑指南：切记平移针对的是自变量 $x$ 本身，而不是整体角 $2x$。若直接用 $\left(-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$ 会误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于必修四三角函数图象变换基础例题。
2. 结论推广：函数 $y=f(\omega x+{\phi }_1)$ 变换为 $y=f(\omega x+{\phi }_2)$，需将图象平移 $\frac{|{\phi }_1-{\phi }_2|}{\omega }$ 个单位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数