2010-大纲卷II理-09 单-立体几何

本题导读

本题考查正四棱锥的几何性质、几何体体积的函数表示与导数极值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 已知正四棱锥 $S-ABCD$ 中，$SA=2\sqrt{3}$，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正四棱锥的高为 $h$，利用勾股定理求出底面正方形外接圆半径及底面积 $S(h)$。
2. 写出体积 $V(h)=\frac{1}{3}S(h)\cdot h$ 的函数表达式。
3. 对 $V(h)$ 求导，求出使体积取得最大值时的 $h$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱锥的高为 $h$（$0<h<2\sqrt{3}$），底面正方形的边长为 $x$。

在直角三角形 $SAO$（$O$ 为底面中心）中： $A{O}^2=S{A}^2-S{O}^2=(2\sqrt{3}{)}^2-h^2=12-h^2$

因为底面是正方形，所以对角线 $AC=2AO$，底面积 $S=\frac{1}{2}A{C}^2=2A{O}^2=2(12-h^2)$。

棱锥体积函数为： $V(h)=\frac{1}{3}\cdot 2(12-h^2)\cdot h=\frac{2}{3}(12h-h^3)$

对 $V(h)$ 关于 $h$ 求导： $V^{\prime }(h)=\frac{2}{3}(12-3h^2)=2(4-h^2)$

令 $V^{\prime }(h)=0$，在 $0<h<2\sqrt{3}$ 范围内解得 $h=2$。 当 $h\in (0,2)$ 时，$V^{\prime }(h)>0$；当 $h\in (2,2\sqrt{3})$ 时，$V^{\prime }(h)<0$。 故当 $h=2$ 时，体积 $V$ 取得最大值。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中的最值计算与导数应用。
2. 核心方法：构建一元自变量的几何体积函数。
3. 避坑指南：注意自变量 $h$ 的定义域范围，求导后务必验证极值点是否为最大值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于立体几何与导数应用交叉的经典最值优化题。
2. 结论推广：侧棱长为 $L$ 的正 $n$ 棱锥，当高 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}L$ 时，其体积达到最大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积