2010-大纲卷II理-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项式展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 若 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^9$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 $-84$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 整理 $x$ 的指数项，令其等于 $3$，求得对应的 $r$ 值。
3. 令该项系数等于 $-84$，解出参数 $a$。

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** $1$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^9$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_9^r{x}^{9-r}{\left(-\frac{a}{x}\right)}^r={\text{C}}_9^r(-a{)}^r{x}^{9-2r}$

令 $x$ 的指数 $9-2r=3$，解得 $r=3$。

故 $x^3$ 项的系数为： ${\text{C}}_9^3(-a{)}^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}(-a^3)=-84a^3$

由题意得： $-84a^3=-84⟹a^3=1⟹a=1$

答案： $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的精确计算。
2. 核心方法：指数待定系数法。
3. 避坑指南：注意负号 $(-a{)}^r$ 的保留，运算时不要丢掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于必修二项式定理基本概念题。
2. 结论推广：形如 ${\left(x^m+\frac{k}{x^n}\right)}^N$ 的展开式特定项系数，均可通过解指数方程 $m(N-r)-nr=P$ 锁定项数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理