2010-大纲卷II理-21 解-几何证明

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与离心率、点差法与中点弦问题。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 已知斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 相交于 $B,D$ 两点，且 $BD$ 的中点为 $M(1,3)$.

(1) 求 $C$ 的离心率；

(2) 设 $C$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，$|DF|\cdot |BF|=17$，证明：过 $A,B,D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切.

🔍【思路分析】

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1. 设 $B(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，用点差法结合中点 $M(1,3)$ 与斜率 $k=1$ 推出 $\frac{b^2}{a^2}=3$，进而求得离心率 $e=2$。
2. 由 $e=2$ 推导焦半径表示 $|PF|=|2x-a|$，联立直线与双曲线方程，由 $|DF|\cdot |BF|=17$ 解得 $a=1$。
3. 假设过 $A(1,0)$ 且与 $x$ 轴相切的圆方程为 $(x-1{)}^2+(y-y_0{)}^2=y_0^2$，代入直线方程验证 $B,D$ 的横坐标方程与联立所得方程一致，从而证明切性。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $B(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$。 因为 $M(1,3)$ 是 $BD$ 的中点，所以 $x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=6$。

又 $B,D$ 在双曲线上： $\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\\ \frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{array}$

两式相减得： $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0⟹\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}=\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}$

由于直线 $l$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1$，化简得： $\frac{x_1+x_2}{a^2}=\frac{y_1+y_2}{b^2}\cdot k⟹\frac{2}{a^2}=\frac{6}{b^2}⟹\frac{b^2}{a^2}=3$

故离心率： $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+3}=2$

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(2) 由 (1) 知 $b^2=3a^2,c=2a$，双曲线方程可化为 $3x^2-y^2=3a^2$，右焦点 $F(2a,0)$。 因为直线 $l$ 过点 $M(1,3)$ 且斜率为 $1$，故 $l:y=x+2$。

对于双曲线上任意点 $P(x,y)$，其到右焦点 $F(2a,0)$ 的距离满足： $|PF{|}^2=(x-2a{)}^2+y^2=(x-2a{)}^2+3x^2-3a^2=4x^2-4ax+a^2=(2x-a{)}^2$ 即 $|PF|=|2x-a|$。

联立直线 $l$ 与双曲线方程： $\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 3x^2-y^2=3a^2\end{array}⟹2x^2-4x-(4+3a^2)=0$

设 $x_1,x_2$ 为该方程的两根，则： $x_1+x_2=2,x_1{x}_2=-2-\frac{3}{2}{a}^2$

因此： $|DF|\cdot |BF|=|(2x_1-a)(2x_2-a)|=|4x_1{x}_2-2a(x_1+x_2)+a^2|$ $=\left|4\left(-2-\frac{3}{2}{a}^2\right)-4a+a^2\right|=|-5a^2-4a-8|=5a^2+4a+8$

由已知 $|DF|\cdot |BF|=17$，得： $5a^2+4a+8=17⟹5a^2+4a-9=0⟹(a-1)(5a+9)=0$

因 $a>0$，解得 $a=1$。

此时 $A(1,0)$，方程 $2x^2-4x-(4+3a^2)=0$ 成为 $2x^2-4x-7=0$。

假设存在过点 $A(1,0)$ 且与 $x$ 轴相切于点 $A$ 的圆，其圆心在直线 $x=1$ 上，设圆方程为： $(x-1{)}^2+(y-y_0{)}^2=y_0^2⟹(x-1{)}^2+y^2-2y_{0}y=0$

将直线 $y=x+2$ 代入圆方程： $(x-1{)}^2+(x+2{)}^2-2y_0(x+2)=0⟹2x^2+(2-2y_0)x+(5-4y_0)=0$

若点 $B,D$ 在该圆上，则上述方程与 $2x^2-4x-7=0$ 同解，对比系数得： $\{\begin{array}{l}2-2y_0=-4\\ 5-4y_0=-7\end{array}⟹y_0=3$

此方程组有唯一解 $y_0=3$，表明圆 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=9$ 恰好经过 $A(1,0),B,D$ 三点。 该圆圆心为 $(1,3)$，半径为 $3$，圆心到 $x$ 轴的距离等于半径，且切点为 $A(1,0)$。

故过 $A,B,D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点弦点差法、双曲线焦半径统一公式、三点共圆与相切的判定。
2. 核心方法：

• 点差法求解中点弦斜率与离心率。
• 待定系数法（构造符合切线特性的圆方程）避开复杂的求圆心与半径运算。

3. 避坑指南：第 (2) 问中 $B,D$ 分别在双曲线的两支上，直接用距离公式化简比盲目带入绝对值更具通用性与严谨性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于圆锥曲线中点弦性质与圆的相切几何特征综合题。
2. 结论推广：若过圆锥曲线弦中点做特定直线交曲线于两点，以顶点为切点的圆方程可通过二次曲线系或系数比对直接构造证明。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线