2010-大纲卷II理-22 解-导数

本题导读

本题考查端点效应与必要条件探求、利用导数研究函数的单调性与极值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 设函数 $f(x)=1-{\text{e}}^{-x}$.

(1) 证明：当 $x>-1$ 时，$f(x)\ge \frac{x}{x+1}$；

(2) 设当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\le \frac{x}{ax+1}$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将不等式变形为 ${\text{e}}^x\ge x+1$，构造函数 $g(x)={\text{e}}^x-x-1$，利用导数求极小值证明。
2. 第二问（端点效应法）：

• 探求必要条件：构造 $g(x)=f(x)-\frac{x}{ax+1}\le 0$。在端点 $x=0$ 处 $g(0)=0$。由于 $g^{\prime }(0)=0$，须通过二阶导数满足 $g^{\prime \prime }(0)\le 0$ 导出必要条件 $a\le \frac{1}{2}$。
• 证明充分性：验证 $a=\frac{1}{2}$ 时不等式在 $x\ge 0$ 上恒成立，进而确定 $a$ 的取值范围。

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$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $x>-1$ 时，$x+1>0$。 原不等式等价于： $1-\frac{x}{x+1}\ge {\text{e}}^{-x}⟺\frac{1}{x+1}\ge {\text{e}}^{-x}⟺{\text{e}}^x\ge x+1$

构造辅助函数 $g(x)={\text{e}}^x-x-1(x>-1)$。 求导得 $g^{\prime }(x)={\text{e}}^x-1$。

• 当 $-1<x<0$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>0$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。

故 $g(x)$ 在 $x=0$ 处取得最小值 $g(0)={\text{e}}^0-0-1=0$。 因此，对任意 $x>-1$，均有 ${\text{e}}^x\ge x+1$ 恒成立。 两边同乘以 $\frac{{\text{e}}^{-x}}{x+1}>0$，得 $\frac{1}{x+1}\ge {\text{e}}^{-x}⟹1-{\text{e}}^{-x}\ge \frac{x}{x+1}$。

即当 $x>-1$ 时，$f(x)\ge \frac{x}{x+1}$ 得证。

---

(2) 设 $g(x)=1-{\text{e}}^{-x}-\frac{x}{ax+1}$，已知当 $x\ge 0$ 时，$g(x)\le 0$ 恒成立。

第一步：利用端点效应求必要条件 在端点 $x=0$ 处： $g(0)=1-1-0=0$

求一阶导数： $g^{\prime }(x)={\text{e}}^{-x}-\frac{1}{(ax+1{)}^2}$ 代入 $x=0$ 得 $g^{\prime }(0)=1-1=0$。

求二阶导数： $g^{\prime \prime }(x)=-{\text{e}}^{-x}+\frac{2a}{(ax+1{)}^3}$ 代入 $x=0$ 得 $g^{\prime \prime }(0)=-1+2a$。

根据端点效应，若 $g(x)\le 0$ 在 $x\ge 0$ 成立，且 $g(0)=0,g^{\prime }(0)=0$，则必须满足 $g^{\prime \prime }(0)\le 0$： $-1+2a\le 0⟹a\le \frac{1}{2}$

第二步：证明充分性 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，要证 $1-{\text{e}}^{-x}\le \frac{x}{\frac{1}{2}x+1}=\frac{2x}{x+2}$ 在 $x\ge 0$ 上恒成立。

等价于证明 ${\text{e}}^x(2-x)\le x+2(x\ge 0)$。 构造函数 $F(x)=x+2-{\text{e}}^x(2-x)(x\ge 0)$。 求导得： $F^{\prime }(x)=1-[{\text{e}}^x(2-x)-{\text{e}}^x]=1+(x-1){\text{e}}^x$

设 $p(x)=1+(x-1){\text{e}}^x$，则 $p^{\prime }(x)=x{\text{e}}^x\ge 0(x\ge 0)$。 故 $p(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，得 $p(x)\ge p(0)=0⟹F^{\prime }(x)\ge 0$。

所以 $F(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，得 $F(x)\ge F(0)=0$。 即当 $x\ge 0$ 时，${\text{e}}^x(2-x)\le x+2$ 恒成立，得 $f(x)\le \frac{x}{\frac{1}{2}x+1}$。

又当 $a\le \frac{1}{2}$ 且 $x\ge 0$ 时，$ax+1\le \frac{1}{2}x+1$，故： $f(x)\le \frac{x}{\frac{1}{2}x+1}\le \frac{x}{ax+1}$

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：端点效应在含参不等式恒成立问题中的应用。
2. 核心方法：

• 端点效应法：若 $g(x_0)=0,g^{\prime }(x_0)=0$，则看 $g^{\prime \prime }(x_0)$ 的正负：若在右侧 $g(x)\le 0$，则必有 $g^{\prime \prime }(x_0)\le 0$。
• 充分性验证：用必要条件锁定边界后，务必代回原式证明充分性，保证解答严谨。

3. 避坑指南：一阶导数在端点值为 $0$ 时无法直接限制参数，需继续求二阶导数分析端点凹凸性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于函数泰勒展开式二次近似项的下界估计。
2. 结论推广：若 $g(x)$ 在端点 $x_0$ 处满足 $g(x_0)=g^{\prime }(x_0)=\cdots =g^{(k-1)}(x_0)=0$，则右侧恒成立的方向直接由首个不为零的高阶导数 $g^{(k)}(x_0)$ 的正负决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式