2010-天津卷文-20 解-导数切线与恒成立

本题导读

考查导数应用。(1) 切线 $y=6x-9$；(2) 约束来自左端点 $f\left(-\frac{1}{2}\right)>0$，得 $0<a<5$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+1$ ($x\in \mathbf{R}$)，其中 $a>0$.

(1) 若 $a=1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程；

(2) 若在区间 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ 上，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $a=1$ 时 $f(2)=3$，$f^{\prime }(2)=6$，切线 $y-3=6(x-2)$。
2. $f^{\prime }(x)=3x(ax-1)$：在 $\left[-\frac{1}{2},0\right]$ 上 $f^{\prime }>0$，$f$ 递增，最小值 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{5-a}{8}$。
3. 在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 上：$a⩽2$ 时 $f$ 递减，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a+5}{8}>0$；$a>2$ 时最小值 $f\left(\frac{1}{a}\right)=1-\frac{1}{2a^2}>0$。
4. 有效约束为 $\frac{5-a}{8}>0$，即 $a<5$，结合 $a>0$ 得 $0<a<5$。

✅【答案】

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(1) $y=6x-9$

(2) $0<a<5$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+1$， $f(2)=8-6+1=3$，$f^{\prime }(x)=3x^2-3x$，$f^{\prime }(2)=12-6=6$。 切线方程为 $y-3=6(x-2),\text{即 }y=6x-9.$ (2) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2-3x=3x(ax-1)$，零点为 $x=0$ 与 $x=\frac{1}{a}$。 ①在 $\left[-\frac{1}{2},0\right]$ 上：$x⩽0$，$ax-1<0$，故 $f^{\prime }(x)⩾0$，$f$ 单调递增， 最小值为 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a}{8}-\frac{3}{8}+1=\frac{5-a}{8}.$ ②在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 上： 若 $\frac{1}{a}⩾\frac{1}{2}$（即 $0<a⩽2$），则 $f^{\prime }(x)⩽0$，$f$ 单调递减， 最小值 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a}{8}-\frac{3}{8}+1=\frac{a+5}{8}>0$，恒成立； 若 $\frac{1}{a}<\frac{1}{2}$（即 $a>2$），$f$ 在 $\left[0,\frac{1}{a}\right]$ 递减、$\left[\frac{1}{a},\frac{1}{2}\right]$ 递增， 最小值 $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a^2}-\frac{3}{2a^2}+1=1-\frac{1}{2a^2}>0,$ 恒成立。 综上，约束仅来自①：$\frac{5-a}{8}>0$，即 $a<5$。 结合 $a>0$，$a$ 的取值范围是 $0<a<5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与恒成立问题

核心方法：求导定临界点，分段讨论最小值，有效约束取交集

避坑指南：$f^{\prime }(x)=3x(ax-1)$ 的零点 $\frac{1}{a}$ 是否落在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 内要按 $a⩽2$ 与 $a>2$ 分类；最终约束 $f\left(-\frac{1}{2}\right)>0$ 即 $a<5$，别写成 $a⩽5$（恒大于 $0$ 不含等号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线方程三步：算 $f(x_0)$、算 $f^{\prime }(x_0)$、点斜式。

结论推广：闭区间上 $f(x)>0$ 恒成立 $⟺f(x{)}_{\min }>0$，严格不等号对应端点不可取。

方法推广：三次函数导数是二次函数，零点分布决定单调区间的分法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-10 单-导数构造恒成立
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立
• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值