2010-天津卷理-16 填-函数

本题导读

本题考查函数不等式恒成立问题求参数范围，将已知函数代入化简后分离参数求解。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=x^2-1$，对任意 $x\in \left[\frac{3}{2},+\infty \right)$，$f\left(\frac{x}{m}\right)-4m^{2}f(x)\le f(x-1)+4f(m)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 代入函数表达式化简：

• $f(x)=x^2-1$；
• $f\left(\frac{x}{m}\right)=\frac{x^2}{m^2}-1$；
• $4m^{2}f(x)=4m^2(x^2-1)=4m^2{x}^2-4m^2$；
• $f(x-1)=(x-1{)}^2-1=x^2-2x$；
• $4f(m)=4(m^2-1)=4m^2-4$。

2. 整理不等式： $\left(\frac{x^2}{m^2}-1\right)-(4m^2{x}^2-4m^2)\le (x^2-2x)+(4m^2-4)$ $\frac{x^2}{m^2}-1-4m^2{x}^2+4m^2\le x^2-2x+4m^2-4$ 消去两边 $4m^2$，移项化简得： $\left(\frac{1}{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le 0$
3. 分析恒成立条件： 要使关于 $x\ge \frac{3}{2}$ 的不等式恒成立，需要系数满足特定条件，利用参变量分离或二次函数最值确定 $m$ 的范围。

✅【答案】

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$\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入化简不等式 将 $f(t)=t^2-1$ 代入已知恒成立不等式： $\left(\frac{x^2}{m^2}-1\right)-4m^2(x^2-1)\le (x-1{)}^2-1+4(m^2-1)$

展开各多项式： $\frac{x^2}{m^2}-1-4m^2{x}^2+4m^2\le x^2-2x+4m^2-4$

两边同时消去 $4m^2$，并将常数项移至左边： $\left(\frac{1}{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le 0\text{对所有 }x\ge \frac{3}{2}\text{ 恒成立}$

第二步：参变量分离 当 $x\ge \frac{3}{2}>0$ 时，两边同除以 $x^2>0$： $\frac{1}{m^2}-4m^2-1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\le 0$ $\frac{1}{m^2}-4m^2-1\le -\left(\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x}\right)$

要使上式对 $x\in \left[\frac{3}{2},+\infty \right)$ 恒成立，只需使其小于等于右侧表达式在 $x\in \left[\frac{3}{2},+\infty \right)$ 上的最小值。

第三步：求右侧函数的最小值 设 $g(x)=-\left(\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x}\right)$。 令 $u=\frac{1}{x}$，因为 $x\ge \frac{3}{2}$，所以 $u\in \left(0,\frac{2}{3}\right]$。 则： $g(u)=-(3u^2+2u)$

因为 $u>0$，所以 $3u^2+2u$ 随着 $u$ 的增大而严格增大。 当 $u=\frac{2}{3}$（即 $x=\frac{3}{2}$）时，$3u^2+2u$ 取得最大值： $3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+2\left(\frac{2}{3}\right)=3\times \frac{4}{9}+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

所以 $g(x)$ 的最小值为 $-\frac{8}{3}$。

第四步：解关于 $m$ 的不等式 由题意需满足： $\frac{1}{m^2}-4m^2-1\le -\frac{8}{3}⟹\frac{1}{m^2}-4m^2+\frac{5}{3}\le 0$

两边同乘以 $3m^2>0$（由定义域可知 $m\ne 0$）： $3-12m^4+5m^2\le 0⟹12m^4-5m^2-3\ge 0$

因式分解： $(3m^2-3)(4m^2+1)\ge 0\text{或 }(4m^2+3)(3m^2-1)\ge 0\text{ 待定验算: }$ $12m^4-5m^2-3=(3m^2+1)(4m^2-3)\ge 0$

因为 $3m^2+1>0$ 恒成立，所以需满足： $4m^2-3\ge 0⟹m^2\ge \frac{3}{4}$

解得： $m\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\text{或}m\le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

故答案为：$\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty \right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数不等式恒成立问题、参变量分离法、换元求二次函数最值。
2. 核心方法：代入多项式展开化简 $\to$ 参变量分离 $\to$ 令 $u=1/x$ 求单调函数最值 $\to$ 解关于 $m^2$ 的一元二次不等式。
3. 避坑指南：

• 当 $u\in \left(0,\frac{2}{3}\right]$ 时，求 $-(3u^2+2u)$ 的最小值是在 $u=\frac{2}{3}$ 处取得；
• 因式分解 $12m^4-5m^2-3=(3m^2+1)(4m^2-3)$ 需计算准确；
• 求解 $m^2\ge \frac{3}{4}$ 须包含正负两个区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：天津卷填空压轴函数恒成立参数范围考查题。
2. 结论推广：对形如 $A(m)x^2+Bx+C\le 0$ 的恒成立问题，参变量分离法是规避繁琐分类讨论的最优解法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性