2010-安徽卷理-06 单-函数

本题导读

本题考查二次函数的图象特征与系数符号之间的内在对应关系，需要通过开口方向、对称轴位置及 $y$ 轴截距进行综合判定。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设 $abc>0$，二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的图像可能是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察各选项图像的开口方向确定 $a$ 的符号；观察对称轴位置确定 $b$ 的符号；观察与 $y$ 轴交点确定 $c$ 的符号。

2. 分别计算各选项中 $abc$ 的乘积符号，判断是否满足 $abc>0$。

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

依次检验各选项对应的图象特征：

• 选项 A：开口向下 $⟹a<0$；对称轴在 $y$ 轴左侧 $⟹-\frac{b}{2a}<0⟹b<0$；与 $y$ 轴交于负半轴 $⟹c<0$。则 $abc<0$，不符。

• 选项 B：开口向下 $⟹a<0$；对称轴在 $y$ 轴右侧 $⟹-\frac{b}{2a}>0⟹b>0$；与 $y$ 轴交于正半轴 $⟹c>0$。则 $abc<0$，不符。

• 选项 C：开口向上 $⟹a>0$；对称轴在 $y$ 轴左侧 $⟹-\frac{b}{2a}<0⟹b>0$；与 $y$ 轴交于负半轴 $⟹c<0$。则 $abc<0$，不符。

• 选项 D：开口向上 $⟹a>0$；对称轴在 $y$ 轴右侧 $⟹-\frac{b}{2a}>0⟹b<0$；与 $y$ 轴交于负半轴 $⟹c<0$。则 $abc=(+)\times (-)\times (-)>0$，符合。 正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图象与系数 $a,b,c$ 符号的映射关系。

2. 核心方法：数形结合法。开口看 $a$，对称轴看 $-\frac{b}{2a}$（左同右异），截距看 $c$。

3. 避坑指南：在通过对称轴判断 $b$ 的符号时，必须结合 $a$ 的正负进行判断，极易因思维定势导致符号弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是初中二次函数系数判定题型的高考深化版，重点考查逻辑推理的严密性。

5. 结论推广: 对于多项式函数或有理函数，其截距、极值点和单调性往往能直接决定各项系数的符号组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性