2010-安徽卷理-09 单-三角函数

本题导读

本题是实际物理运动模型向三角函数数学模型的转化。重点考查如何通过周期和初始位置建立正弦型函数解析式，进而求解其单调递增区间。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 动点 $A(x,y)$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周.已知时间 $t=0$ 时，点 $A$ 的坐标是 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，则当 $0⩽t⩽12$ 时，动点 $A$ 的纵坐标 $y$ 关于 $t$（单位：秒）的函数的单调递增区间是()

A. $[0,1]$　　B. $[1,7]$　　C. $[7,12]$　　D. $[0,1]$ 和 $[7,12]$

🔍【思路分析】

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1. 根据“12秒旋转一周”确定圆周运动的角速度 $\omega$。

2. 利用 $t=0$ 时的初始坐标求出初相 $\varphi$，从而建立纵坐标 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式 $y=\sin (\omega t+\varphi )$。

3. 借助正弦函数的单调增区间公式，通过整体代换法求出符合条件且在 $[0,12]$ 内的区间。

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为动点 $A$ 沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，所以角速度为： $\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$ 当 $t=0$ 时，点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，对应的初相 $\varphi$ 满足 $\cos \varphi =\frac{1}{2}$，$\sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，取 $\varphi =\frac{\pi }{3}$。 所以动点 $A$ 的纵坐标 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式为： $y=\sin \left(\frac{\pi }{6}t+\frac{\pi }{3}\right)$ 令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\frac{\pi }{6}t+\frac{\pi }{3}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$） 两边同减 $\frac{\pi }{3}$ 得：$-\frac{5\pi }{6}+2k\pi ⩽\frac{\pi }{6}t⩽\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 两边同乘以 $\frac{6}{\pi }$ 得：$-5+12k⩽t⩽1+12k$ 因为 $0⩽t⩽12$：

• 当 $k=0$ 时，解集为 $[-5,1]$，取交集得 $[0,1]$；

• 当 $k=1$ 时，解集为 $[7,13]$，取交集得 $[7,12]$。 因此，单调递增区间为 $[0,1]$ 和 $[7,12]$。 正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的实际应用与单调性分析。

2. 核心方法：整体代换法（把 $\omega t+\varphi$ 视作整体代入基本单调区间）。

3. 避坑指南：注意区间边界的截断。解出的区间 $-5⩽t⩽1$ 超出了 $t⩾0$ 的定义域，必须切分为 $[0,1]$；同样 $[7,13]$ 必须切分为 $[7,12]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是物理简谐运动（摩天轮模型、圆周运动投影）在代数三角函数中的标准映射，考查跨学科建模。

5. 结论推广: 若质点在半径为 $R$ 的圆上以角速度 $\omega$ 匀速旋转，初始角为 $\varphi$，其投影坐标为 $x=R\cos (\omega t+\varphi ),y=R\sin (\omega t+\varphi )$，其导数对应切向速度的分量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数