2010-安徽卷理-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的展开式通项公式，重点在于通过通项公式的指数化简来确定特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） ${\left(\frac{x}{\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 的展开式中，$x^3$ 的系数等于$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 写出二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}$．

2. 将通项公式中的底数统一化为幂指数形式，分别整理出 $x$ 和 $y$ 的总指数．

3. 令 $x$ 的指数等于 3，求出对应的 $r$ 值，再代入系数位置计算数值．

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15

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right){\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)}^{6-r}{\left(-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)}^r$ 将各项分式拆开并转化为指数律形式： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)(-1{)}^r\cdot {\left(x\cdot y^{-\frac{1}{2}}\right)}^{6-r}\cdot {\left(y\cdot x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r$ $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)(-1{)}^r\cdot x^{6-r-\frac{1}{2}r}\cdot y^{-3+\frac{1}{2}r+r}$ 合并同底数幂： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)(-1{)}^r\cdot x^{6-\frac{3}{2}r}\cdot y^{\frac{3}{2}r-3}$ 令 $x$ 的指数为 3，即 $6-\frac{3}{2}r=3$，解得 $r=2$． 此时 $y$ 的指数为 $\frac{3}{2}\times 2-3=0$，符合不含 $y$ 的项（即 $x^3$ 项）． 代入系数部分计算： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)(-1{)}^2=15\times 1=15$ 因此，$x^3$ 的系数为 15．

答案为：15

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项公式 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ 及其运算．

2. 核心方法：指数运算与方程思想相结合．

3. 避坑指南：负号易漏．在提取二项式的第二项时，必须把减号看作 $(-1{)}^r$ 提取出来参与系数计算．

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题出自人教A版选修2-3中二项式定理的经典课后习题．

5. 结论推广: 对于 ${\left(A{x}^m+B{x}^n\right)}^k$ 类型的展开式，特定项的求法完全取决于单项式指数方程 $m(k-r)+nr=d$ 的非负整数解．

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理