2010-安徽卷理-13 填-线性规划

本题导读

本题是一道将线性规划与基本不等式相结合的综合题。先通过目标函数的最大值确定参数乘积 $ab$ 的值，再利用基本不等式求解和的最小值。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x-y+2⩾0\\ 8x-y-4⩽0\\ x⩾0,y⩾0\end{array}$，若目标函数 $z=abx+y$ ($a>0,b>0$) 的最大值为 8，则 $a+b$ 的最小值为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 作出约束条件所对应的可行域，找出区域的各个顶点坐标．

2. 分析目标函数 $z=abx+y$ 的几何意义，平移直线确定最大值达到的最值点．

3. 由最大值等于 8 建立关于 $ab$ 的方程，求出 $ab$ 的恒定值．

4. 利用均值不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 计算 $a+b$ 的最小值．

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4

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的平面区域（可行域），其边界直线为： $l_1:2x-y+2=0$， $l_2:8x-y-4=0$ 及 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴． 联立 $\{\begin{array}{l}2x-y+2=0\\ 8x-y-4=0\end{array}$ 解得交点 $A(1,4)$． 该可行域是一个以 $O(0,0)$， $B(0,2)$， $A(1,4)$， $C\left(\frac{1}{2},0\right)$ 为顶点的凸四边形区域．

目标函数变形为 $y=-abx+z$． 因为 $a>0,b>0$，所以斜率 $-ab<0$． 当直线 $y=-abx+z$ 经过可行域的顶点 $A(1,4)$ 时，其在 $y$ 轴上的截距 $z$ 取得最大值． 代入 $A(1,4)$ 到目标函数中： $z_{\text{max}}=ab\times 1+4=8⟹ab=4$ 由基本不等式，由于 $a>0,b>0$： $a+b⩾2\sqrt{ab}=2\sqrt{4}=4$ 当且仅当 $a=b=2$ 时，等号成立． 所以 $a+b$ 的最小值为 4．

答案为：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中确定最值点的位置，基本不等式求最值．

2. 核心方法：数形结合确定几何最值点，代数恒等变形利用 AM-GM 不等式．

3. 避坑指南：需要严谨验证最大值点是否必然在 $A(1,4)$ 处．由于 $-ab<0$，目标函数往右上平移截距变大，故最高交点必然为区域的上方顶点 $A$．

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是将解析几何初步（线性规划）与代数不等式（均值不等式）跨章节串联的经典高考小衔接题．

5. 结论推广: 凡是遇到约束条件求得参数乘积为定值 $ab=k$ ($k>0$) 的形式，求 $a+b$ 的型式均可直接套用 $2\sqrt{k}$ 的下界．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立