2010-安徽卷理-21 解-古典概型

本题导读

本题是以品酒师测试为背景的概率综合应用题。通过对排列的偏离度进行量化，考查离散型随机变量的所有可能取值、概率分布列的建立以及基于小概率事件原理进行实际推断的能力。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分． 现设 $n=4$，分别以 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 表示第一次排序时被排为 $1,2,3,4$ 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 $X=|1-a_1|+|2-a_2|+|3-a_3|+|4-a_4|$，则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述．

(1) 写出 $X$ 的可能值集合；

(2) 假设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 等可能地为 $1,2,3,4$ 的各种排列，求 $X$ 的分布列；

(3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 $X⩽2$， ① 试按 (2) 中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ② 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：$a_1,a_2,a_3,a_4$ 是 $\{1,2,3,4\}$ 的一个全排列。由于 $\sum (i-a_i)=0$ 且 $|x|\equiv x(\mathrm{mod}2)$，可知 $X$ 必为偶数。通过对部分典型排列的绝对值和进行试算，确定 $X$ 的所有可能取值。

2. 第二问：总的排列数为 $4!=24$ 种。采用分类枚举法，按第二次排序的可能结果，系统地清点出使 $X$ 分别等于各可能值的排列个数，从而写出概率分布列。

3. 第三问： ① 先求单轮测试中 $X⩽2$ 的概率，再利用独立重复试验的概率乘法公式求出三轮连续发生的概率。 ② 利用统计学中“小概率事件在主观随机试验中几乎不可能发生”的原理，反证该品酒师具备真正的鉴别实力。

✅【答案】

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（1）𝑋的可能值集合为{0,2,4,6,8}.（2）𝑃(𝑋=0)=124，𝑃(𝑋=2)=324，𝑃(𝑋=4)=7

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是 $\{1,2,3,4\}$ 的各种排列，总数为 $A_4^4=24$ 种。 由于 $X={\sum }_{i=1}^4|i-a_i|$ 且 $|i-a_i|\equiv (i-a_i)(\mathrm{mod}2)$， 则 ${\sum }_{i=1}^4|i-a_i|\equiv {\sum }_{i=1}^4(i-a_i)={\sum }_{i=1}^{4}i-{\sum }_{i=1}^4{a}_i=10-10=0(\mathrm{mod}2)$． 所以 $X$ 只能取偶数。 经测试， $X$ 的最小可能值为 $0$（此时排列为 $1,2,3,4$），最大可能值为 $8$（例如排列为 $3,4,1,2$ 或 $4,3,2,1$）． 故 $X$ 的可能值集合为 $\{0,2,4,6,8\}$．

(2) 解：通过对 24 种排列进行逐一分类或分步计数：

• 当 $X=0$ 时，对应的排列只有 $(1,2,3,4)$ 这一种，故 $P(X=0)=\frac{1}{24}$；
• 当 $X=2$ 时，意味着有两项的位置发生了互换且相邻，对应的排列为： $(2,1,3,4)$, $(1,3,2,4)$, $(1,2,4,3)$，共 3 种，故 $P(X=2)=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$；
• 当 $X=4$ 时，对应的排列共有 7 种，分别为： $(1,3,4,2)$, $(1,4,2,3)$, $(1,4,3,2)$, $(2,1,4,3)$, $(2,3,1,4)$, $(3,1,2,4)$, $(3,2,1,4)$，故 $P(X=4)=\frac{7}{24}$；
• 当 $X=8$ 时，对应的排列共有 4 种，分别为： $(3,4,1,2)$, $(3,4,2,1)$, $(4,3,1,2)$, $(4,3,2,1)$，故 $P(X=8)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$；
• 剩下的排列对应的 $X=6$，个数为 $24-(1+3+7+4)=9$ 种，故 $P(X=6)=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$．

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	2	4	6	8
$P$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{6}$

(3) 解： ① 由 (2) 的结果可知，在一轮测试中， $X⩽2$ 的概率为： $P(X⩽2)=P(X=0)+P(X=2)=\frac{1}{24}+\frac{3}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$ 由于三轮测试相互独立，设“三轮测试中都有 $X⩽2$”为事件 $M$，则： $P(M)={\left(\frac{1}{6}\right)}^3=\frac{1}{216}$

② 结论：该品酒师具有优良的酒味鉴别功能． 理由：如果该品酒师没有酒味鉴别功能，两次排序完全是随机盲猜的，那么由①可知，他在相继三轮测试中都达到 $X⩽2$ 的概率只有 $\frac{1}{216}\approx 0.0046$． 根据小概率事件原理，这样稀有的事件在实际测试中是不可能靠纯粹碰运气连续发生的。现在此现象竟然发生了，说明他凭借的是过硬的专业鉴别能力，而非盲猜。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量概率分布的完整书写形式，古典概型的精准计数。

2. 核心方法：列表穷举法。在小样本空间（如 $4!=24$）中，严密列举是确保不重不漏的核心手段。

3. 避坑指南：第(2)问计算 $X=4$ 和 $X=6$ 的排列数时极易数漏，建议在计算完后一定要把所有分子加和（$1+3+7+9+4=24$），利用概率总和为 1 进行强制验算。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题基于统计学中著名的非参数检验指标——“肯德尔秩相关系数（Kendall’s tau）”或“斯皮尔曼等级相关系数（Spearman’s rank correlation）”的残差绝对值演变而来，是一道极具学术素养背景的创新概率题。

5. 结论推广: 若将酒的瓶数推广至 $n$ 瓶，则两次完全随机排序的绝对误差和 $X$ 的期望值满足 $E(X)=\frac{n^2-1}{3}$．在本题 $n=4$ 时，可以算出其盲猜的平均偏离度 $E(X)=5$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率