2021-新高考II卷-16 填-导数切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及直线垂直的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知函数 $f(x)=|e^x-1|$，$x_1<0$，$x_2>0$。函数 $f(x)$ 的图象在点 $A(x_1,f(x_1))$ 和点 $B(x_2,f(x_2))$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M,N$ 两点，则 $\frac{|AM|}{|BN|}$ 的取值范围是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分段去绝对值：由于 $x_1<0,x_2>0$，需将 $f(x)$ 拆分为 $1-e^x$ 和 $e^x-1$ 两支。
2. 利用垂直条件：求出两点的切线斜率 $k_1,k_2$，利用 $k_1\cdot k_2=-1$ 建立 $x_1$ 与 $x_2$ 的联系。
3. 坐标与长度表达：

• 写出点 $A,B$ 处的切线方程。
• 求出切线与 $y$ 轴的交点 $M,N$ 的坐标。
• 利用距离公式表示出 $|AM|$ 和 $|BN|$。

4. 化简求值域：将比值 $\frac{|AM|}{|BN|}$ 统一为关于 $x_1$ 的指数表达式，结合 $x_1<0$ 的范围确定区间。

✅【答案】

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$k_1\cdot k_2=-1$

✍【详细解析】

Abstract

1. 去绝对值与求导：

函数 $f(x)=|e^x-1|=\{\begin{array}{ll}1-e^x,& x<0\\ e^x-1,& x>0\end{array}$．

当 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)=-e^x$；当 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)=e^x$．

2. 利用切线垂直条件：

点 $A$ 处的切线斜率为 $k_1=-e^{x_1}$；点 $B$ 处的切线斜率为 $k_2=e^{x_2}$．

因为两条切线互相垂直，所以 $k_1\cdot k_2=-1$：

$(-e^{x_1})\cdot (e^{x_2})=-1\Rightarrow e^{x_1+x_2}=1$．

故 $x_1+x_2=0\Rightarrow x_2=-x_1$．

3. 计算线段长度 $|AM|$：

切线 $AM$ 方程为：$y-(1-e^{x_1})=-e^{x_1}(x-x_1)$．

令 $x=0$，解得 $M$ 的纵坐标 $y_M=1-e^{x_1}+x_1{e}^{x_1}$．

点 $A$ 坐标为 $(x_1,1-e^{x_1})$，则 $|AM|=\sqrt{(x_1-0{)}^2+[(1-e^{x_1})-(1-e^{x_1}+x_1{e}^{x_1}){]}^2}$

$|AM|=\sqrt{x_1^2+(-x_1{e}^{x_1}{)}^2}=|x_1|\sqrt{1+e^{2x_1}}$．

4. 计算线段长度 $|BN|$：

同理，切线 $BN$ 方程为：$y-(e^{x_2}-1)=e^{x_2}(x-x_2)$．

令 $x=0$，解得 $N$ 的纵坐标 $y_N=e^{x_2}-1-x_2{e}^{x_2}$．

点 $B$ 坐标为 $(x_2,e^{x_2}-1)$，则 $|BN|=\sqrt{(x_2-0{)}^2+[(e^{x_2}-1)-(e^{x_2}-1-x_2{e}^{x_2}){]}^2}$

$|BN|=\sqrt{x_2^2+(x_2{e}^{x_2}{)}^2}=|x_2|\sqrt{1+e^{2x_2}}$．

5. 求解比值的范围：

因为 $x_2=-x_1$，所以 $|x_2|=|x_1|$．

$\frac{|AM|}{|BN|}=\frac{|x_1|\sqrt{1+e^{2x_1}}}{|x_1|\sqrt{1+e^{-2x_1}}}=\sqrt{\frac{1+e^{2x_1}}{1+\frac{1}{e^{2x_1}}}}=\sqrt{\frac{1+e^{2x_1}}{\frac{e^{2x_1}+1}{e^{2x_1}}}}=\sqrt{e^{2x_1}}=e^{x_1}$．

已知 $x_1<0$，根据指数函数的性质，$0<e^{x_1}<1$．

故 $\frac{|AM|}{|BN|}$ 的取值范围是 $(0,1)$．

解法二：

由题f\left( x\right)=\left\{\begin{align}&{{\text{e}}^{x}}-1, x>0\\&-{{\text{e}}^{x}}+1,x<0\\\end{align}\right.，

得{f}'\left(x\right)=\left\{ \begin{align}&{{\text{e}}^{x}}, x>0\\&-{{\text{e}}^{x}}, x<0\\\end{align} \right.，

故$k_{AM}=-{\text{e}}^{x_1}$，$k_{AN}={\text{e}}^{x_2}$，

又$AM\perp AN\Rightarrow k_{AM}\cdot k_{AN}=-{{\text{e}}^{x_1+}}^{x_2}=-1$，

得$x_1+x_2=0$，

如图易得$△AEM\backsim △BFN$，

且有$\left|BF\right|=\left|OE\right|$，

所以$\frac{|AM|}{|BN|}=\frac{|AE|}{|BF|}=\frac{|AE|}{|OE|}=\tan \angle AOE$，

而$0<\tan \angle AOE<{\text{e}}^0\text{=}1$，

所以$\frac{|AM|}{|BN|}\in \left(0,1\right)$．

故填：****$\left(0,1\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心转化：指数绝对值函数的“切线垂直”是一个非常特殊的几何条件，它能直接推导出切点横坐标互为相反数（即关于 $y$ 轴对称），这是化简的关键。
2. 计算技巧：在求切线段长度时，利用公式 $|AM|=|x_A-x_M|\sqrt{1+k^2}$ 会比代入两点距离公式更直观。
3. 几何洞察：如果利用解法二中的几何相似性（$△AEM\sim △BFN$），可以发现比值即为切线斜率绝对值的比例，能更快速地得出结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题可以推广到更一般的函数 $g(x)=|a^x-1|$，结论依然与底数 $a$ 相关。
• 变式思考：如果题目要求的是两条切线与 $x$ 轴交点构成的线段长度比值，结果会有变化吗？ (提示：根据对称性，$x_2=-x_1$ 依然成立，计算过程类似，结论可能依然指向指数项。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2010-山东卷文-03 单-对数函数值域
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率