2009-湖南卷文-05 单-分类计数

本题导读

考查分类计数。甲 $0$ 人发言 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种；甲 $1$ 人 $2{\mathrm{C}}_4^2=12$ 种；合计 $16$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 某地政府召集 $5$ 家企业的负责人开会，其中甲企业有 $2$ 人到会，其余 $4$ 家企业各有 $1$ 人到会，会上有 $3$ 人发言，则这 $3$ 人来自 $3$ 家不同企业的可能情况的种数为 ()

A. $14$　　　　　　　B. $16$　　　　　　　C. $20$　　　　　　　D. $48$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 甲企业 $2$ 人不能同时发言，故按甲发言人数分类。
2. 甲 $0$ 人发言：从其余 $4$ 家各选 $1$ 人中选 $3$ 人，${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种。
3. 甲 $1$ 人发言：甲中选 $1$ 人 $2$ 种，再从其余 $4$ 家选 $2$ 家各 $1$ 人，${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种，共 $2\times 6=12$ 种。
4. $4+12=16$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

甲企业有 $2$ 人发言时这 $3$ 人不可能来自 $3$ 家不同企业，所以甲企业至多 $1$ 人发言。 当甲企业 $0$ 人发言时，从其余 $4$ 家企业各选的 $1$ 人中选 $3$ 人，有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种； 当甲企业有 $1$ 人发言时，先从甲企业的 $2$ 人中选 $1$ 人，再从其余 $4$ 家企业中选 $2$ 家，有 $2{\mathrm{C}}_4^2=12$ 种。 因而总数为 ${\mathrm{C}}_4^3+2{\mathrm{C}}_4^2=4+12=16$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法与分步乘法计数原理

核心方法：按甲企业发言人数分类：$0$ 人 ${\mathrm{C}}_4^3$，$1$ 人 $2{\mathrm{C}}_4^2$

避坑指南：甲 $2$ 人同去不可能满足”三家不同企业”，分类只有两类，$4+12=16$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“来自不同企业”的限制先转化为”甲至多 $1$ 人”，再分类。

结论推广：甲出 $1$ 人时是 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_4^2$，两个因数别漏乘。

方法推广：总数 $16$ 小于 ${\mathrm{C}}_6^3=20$（若有 $6$ 个无限制人），量级自检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-07 单-组合计数
• 2009-大纲卷II文-10 单-选课组合计数
• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数