2010-山东卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的循环与条件判断逻辑，通过逐步跟踪自变量 $x$ 与 $y$ 的迭代值求解最终输出。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 执行如图所示的程序框图，若输入 $x=10$，则输出 $y$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始 $x=10$，计算 $y=\frac{1}{2}x-1$。
2. 判断条件 $|y-x|<1$ 是否成立：

• 若成立，输出 $y$ 并结束；
• 若不成立，执行 $x=y$，进入下一次循环。

✅【答案】

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$-\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第 1 次循环：

• 输入 $x=10$；
• 计算 $y=\frac{1}{2}\times 10-1=4$；
• 判断 $|y-x|=|4-10|=6$。因为 $6<1$ 不成立，执行“否”分支：$x=4$。

第 2 次循环：

• $x=4$；
• 计算 $y=\frac{1}{2}\times 4-1=1$；
• 判断 $|y-x|=|1-4|=3$。因为 $3<1$ 不成立，执行“否”分支：$x=1$。

第 3 次循环：

• $x=1$；
• 计算 $y=\frac{1}{2}\times 1-1=-\frac{1}{2}$；
• 判断 $|y-x|=\left|-\frac{1}{2}-1\right|=\frac{3}{2}$。因为 $\frac{3}{2}<1$ 不成立，执行“否”分支：$x=-\frac{1}{2}$。

第 4 次循环：

• $x=-\frac{1}{2}$；
• 计算 $y=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{5}{4}$；
• 判断 $|y-x|=\left|-\frac{5}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$。
• 因为 $\frac{3}{4}<1$ 成立，执行“是”分支，输出 $y$ 的值为 $-\frac{5}{4}$。

故答案为：$-\frac{5}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构程序框图的执行顺序与判定条件。
2. 核心方法：列表或逐步列出每次循环中 $x,y$ 及条件判定的值。
3. 避坑指南：注意当满足条件输出时，输出的是当前循环的 $y$ 值，而非 $x$ 或 $|y-x|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于数值计算中的不动点迭代与收敛性终止条件。
2. 结论推广：该迭代关系 $y=\frac{1}{2}x-1$ 的不动点为 $x=-2$，每次迭代偏差缩小为原来的 $\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式