2010-山东卷理-20 解-分布列

本题导读

本题考查概率与统计综合大题，重点考查相互独立事件的概率计算、复杂规则下的流程控制分析以及离散型随机变量的分布列与数学期望。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个问题，规则如下： ① 每位参加者计分器的初始分均为 $10$ 分，答对问题 $A$、$B$、$C$、$D$ 分别加 $1$ 分、$2$ 分、$3$ 分、$6$ 分，答错任意一题减 $2$ 分； ② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 $8$ 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 $14$ 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 $14$ 分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题 $A$、$B$、$C$、$D$ 顺序作答，直至答题结束.

假设甲同学对问题 $A$、$B$、$C$、$D$ 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1) 求甲同学能进入下一轮的概率；

(2) 用 $\xi$ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记事件与概率：设 $A,B,C,D$ 分别表示甲答对相应问题的事件。已知 $PA.=\frac{3}{4},PB.=\frac{1}{2},PC.=\frac{1}{3},PD.=\frac{1}{4}$。记对立事件（答错）为 $\bar{A},\bar{B},\bar{C},\bar{D}$。
2. 分析答题分数变化过程：

• 初始：$10$ 分。
• 答 $A$：对 $\to 11$ 分；错 $\to 8$ 分。此时均不在终止区（小于 $8$ 或 $\ge 14$），继续答 $B$。
• 答 $B$（两种前置）：
  • 若前 $A$ 对（$11$ 分）：对 $\to 13$ 分（继续答 $C$）；错 $\to 9$ 分（继续答 $C$）。
  • 若前 $A$ 错（$8$ 分）：对 $\to 10$ 分（继续答 $C$）；错 $\to 6$ 分（$<8$ 分，触发终止淘汰，$\xi =2$）。
• 答 $C$（三种前置）：
  • 对对（$13$ 分）：对 $\to 16$ 分（$\ge 14$ 分，触发终止晋级，$\xi =3$）；错 $\to 11$ 分（继续答 $D$）。
  • 对错（$9$ 分）：对 $\to 12$ 分（继续答 $D$）；错 $\to 7$ 分（$<8$ 分，触发终止淘汰，$\xi =3$）。
  • 错对（$10$ 分）：对 $\to 13$ 分（继续答 $D$）；错 $\to 8$ 分（继续答 $D$）。
• 答 $D$（三种前置，最后一题）：
  • 对对错（$11$ 分）：对 $\to 17$ 分（$\ge 14$ 分，晋级，$\xi =4$）；错 $\to 9$ 分（$<14$ 分，淘汰，$\xi =4$）。
  • 对错对（$12$ 分）：对 $\to 18$ 分（$\ge 14$ 分，晋级，$\xi =4$）；错 $\to 10$ 分（$<14$ 分，淘汰，$\xi =4$）。
  • 错不对/错对错…（$13$ 分与 $8$ 分）：
    • 错对对（$13$ 分）：对 $\to 19$ 分（$\ge 14$ 分，晋级，$\xi =4$）；错 $\to 11$ 分（$<14$ 分，淘汰，$\xi =4$）。
    • 错对错（$8$ 分）：对 $\to 14$ 分（$\ge 14$ 分，晋级，$\xi =4$）；错 $\to 6$ 分（$<14$ 分，淘汰，$\xi =4$）。

✅【答案】

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（1）设第𝑖个问题答对为事件𝑀𝑖，答错为事件𝑁𝑖，则𝑃(𝑀1)=34,𝑃(𝑀2)=1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求甲同学能进入下一轮的概率

由题目规则分析，甲能进入下一轮（累计得分 $\ge 14$）的答题路径有以下几种情况：

• 答 $3$ 题进入下一轮（累计达 $16$ 分）： 路径 $A\to B\to C$（全对）：$10+1+2+3=16\ge 14$。 概率为： $P_1=PA.PB.PC.=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{8}$

• 答 $4$ 题进入下一轮（前 $3$ 题未终止，第 $4$ 题答对且累计 $\ge 14$ 分）：

• 路径 1（对、对、错、对）：$10+1+2-2+6=17\ge 14$。 概率：$PA.PB.P(\bar{C})PD.=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$

• 路径 2（对、错、对、对）：$10+1-2+3+6=18\ge 14$。 概率：$PA.P(\bar{B})PC.PD.=\frac{3}{4}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{32}$

• 路径 3（错、对、对、对）：$10-2+2+3+6=19\ge 14$。 概率：$P(\bar{A})PB.PC.PD.=\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{96}$

• 路径 4（错、对、错、对）：$10-2+2-2+6=14\ge 14$。 概率：$P(\bar{A})PB.P(\bar{C})PD.=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{48}$

故甲进入下一轮的概率为： $P=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{96}+\frac{1}{48}=\frac{12+6+3+1+2}{96}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}$

---

(2) 求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E\xi$

随机变量 $\xi$ 表示本轮答题结束时答题的个数，由题意知 $\xi$ 的所有可能取值为 $2,3,4$。

• 当 $\xi =2$ 时：在前两题答完后得分 $<8$ 分，唯一路径为连续答错 $A$ 和 $B$（得分 $10-2-2=6<8$）。 $P(\xi =2)=P(\bar{A})P(\bar{B})=\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

• 当 $\xi =3$ 时：在答完第 $3$ 题后触发终止条件（得分 $\ge 14$ 分或 $<8$ 分）。

• 路径 1（全对，晋级）：$A\to B\to C$，得分 $16\ge 14$。概率为 $\frac{1}{8}$（由 (1) 知）；

• 路径 2（对、错、错，淘汰）：$A\to \bar{B}\to \bar{C}$，得分 $10+1-2-2=7<8$。 概率：$PA.P(\bar{B})P(\bar{C})=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{4}$。

所以： $P(\xi =3)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$

• 当 $\xi =4$ 时：前 $3$ 题未触发终止条件，答满 $4$ 题结束。 $P(\xi =4)=1-P(\xi =2)-P(\xi =3)=1-\frac{1}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{2}$

可得 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	2	3	4
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$

数学期望为： $E\xi =2\times \frac{1}{8}+3\times \frac{3}{8}+4\times \frac{1}{2}=\frac{2}{8}+\frac{9}{8}+\frac{16}{8}=\frac{27}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带有停止规则（终止条件）的多步随机试验分析，离散型随机变量期望公式 $E\xi =\sum x_i{p}_i$。
2. 核心方法：画树状图列举每一步的得分情况，精确捕捉终止节点（$\ge 14$ 或 $<8$）。
3. 避坑指南：

• 注意前两题若错错（得 $6$ 分）直接终止，不能继续答第 $3$ 题；
• 第 (2) 问计算 $P(\xi =4)$ 时，直接利用所有概率之和为 $1$ 进行扣减，比逐一讨论 $4$ 题路径更快捷不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查基于现实生活/竞赛规则包装的条件概率与决策马尔可夫链模型。
2. 结论推广：对于有限步停止问题，变量取值的概率计算需严格保证“之前的步骤未触发停止条件，而在当步触发”或“达到最大步骤”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率