本题导读
本题考查分层抽样。核心在于比例分配法、穷举法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2019年天津卷文）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位老、中、青年员工分别有 72, 108, 120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况。
(1)应从老、中、青年员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 。享受情况如表，其中“”表示享受，“”表示不享受。现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访。 ① 试用所给字母列举出所有的抽取结果； ② 设 为事件“抽取的 2 小时（应为 2 人）享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率。
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问利用分层抽样的比例，总体总人数为 ，抽样比为 ，分别乘以各层人数即可。
- 第二问①采用列举法或组合公式列出从 6 人中抽取 2 人的所有基本事件总数。
- 第二问②根据表格分析每人享受的项目，判断任意两人的交集是否为空（即是否有相同项），进而求出对立事件（完全没有相同项）的概率或直接统计满足条件的基本事件个数。
✅【答案】
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(1)老、中、青年员工分别抽取 、、 人。
(2)。
✍【详细解析】
Abstract
(1)该单位总人数为 （人）。 抽样比为 。 因此： 老员工中应抽取：（人）； 中青年员工中应抽取：（人）； 青年员工中应抽取：（人）。 答：应从老、中、青年员工中分别抽取 人、 人、 人。
(2)① 从 6人中随机抽取 2 人的所有可能结果共有 种。 具体列举如下： 。
② 根据表格，各人享受的项目如下：
- : 子女教育、住房贷款利息、赡养老人（共3项）
- : 子女教育、住房贷款利息、赡养老人（共3项）
- : 继续教育、住房租金（共2项）
- : 子女教育、大病医疗（共2项）
- : 继续教育、住房贷款利息（共2项）
- : 子女教育、继续教育、住房贷款利息、赡养老人（共4项）
分析两人的项目是否有交集（即至少有一项相同）：
- 和 ：有（子女教育、住房贷款利息、赡养老人）
- 和 ：无
- 和 ：有（子女教育）
- 和 ：有（住房贷款利息）
- 和 ：有（子女教育、住房贷款利息、赡养老人）
- 和 ：无
- 和 ：有（子女教育）
- 和 ：有（住房贷款利息）
- 和 ：有（子女教育、住房贷款利息、赡养老人）
- 和 ：无
- 和 ：有（继续教育）
- 和 ：有（继续教育）
- 和 ：无
- 和 ：有（子女教育）
- 和 ：有（继续教育、住房贷款利息）
不满足条件（即“享受的专项附加扣除完全没有相同项”）的情况有： ，共 4 种。 因此，事件 （至少有一项相同）包含的基本事件个数为 种。 故事件 发生的概率为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：分层抽样计算、古典概型与对立事件概率。
- 核心方法：列表、树状图或利用对立事件简化计算。
- 避坑指南：数列举结果时要做到不重不漏，分析表格交集时务必逐行比对每一位员工的项目。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 高考统计与概率解答题的标准第一题。
- 结论推广: 遇到“至多/至少”型概率问题，优先考虑使用对立事件求解可以大幅减少计算量。
🔗【关联脉络】
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